(ENEM 2023 Reaplicação/PPL) Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na
figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a
11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.
De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de
círculo é
A) inferior a 7 m.
B) superior a 7 m e inferior a 14 m.
C) superior a 14 m e inferior a 19 m.
D) superior a 19 m e inferior a 23 m.
E) superior a 23 m.
Solução: questão de matemática do ENEM 2023 - Reaplicação/PPL, prova aplicada no dia 13/12/2023.
Uma questão muito interessante de geometria plana. Vamos "dar um zoom" na marca do pênalti e ilustrar as informações fornecidas no enunciado e outras que daí advêm. Nessa resolução, todas as medidas estão em metros e serão indicadas apenas no final.
O ponto G ilustrado é o ponto médio do segmento EF. A distância EF é igual a 2.x.
Podemos encontrar x por meio do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PGE.
PG² + GE² = PE²
5² + x² = 9²
x² = 81 - 25
x² = 56
x = √56
Decomponto 56 em fatores primos, temos
56 = 8.7 = 2³.7
x = √(2³.7)
x = 2√(2.7)
x = 2√14
Logo, temos que
EF = 2x
EF = 2 . 2√14
EF = 4√14
Quanto vale √14 ?
Sabemos que
√9 = 3
√16 = 4
Então
3 < √14 < 4
Na raiz quadrada, conforme vamos aumentando o valor do radicando (que é aquele valor que está dentro do radical), por exemplo, √9 , √14 , √16, √25, o resultado da raiz quadrada também vai aumentando. Lembrando que no conjunto dos reais, o radicando tem que ser maior ou igual a zero.
Curiosidade: digitando no Google o termo de pesquisa y = sqrt(x) você terá o gráfico de y = √x
Perceba que o gráfico é crescente. À medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y também aumentam.
Sabemos que o valor de √14 está mais perto de √16 do que de √9, o que nos dá uma “pista” de que √14 deve ser um valor superior a 3,5. Calculando 3,5 x 3,5 chegaremos em 12,25, ou seja, √14 > 3,5.
Vamos atualizar os limites encontrados, até aqui, para o valor de √14 , trocando o 3 por 3,5.
3,5 < √14 < 4
Agora, vamos multiplicar todos os valores por 4.
4 x 3,5 < 4 x √14 < 4 x 4
14 < 4√14 < 16
Finalmente, vamos trocar 4√14 por EF.
14 m < EF < 16 m
Alternativa correta é a letra C) superior a 14 m e inferior a 19 m.
Uma outra alternativa, seria testar valores aproximados para raiz de 14, por exemplo, sabendo que ela está entre 3 e 4 e mais perto de 4, tentaríamos um 3,8 x 3,8 = 14,44. Depois, um valor menor do que 3,8, por exemplo, um 3,7 x 3,7 = 13,69. Com isso, iríamos observar que a raiz de 14 está entre 3,7 e 3,8.
3,7 < √14 < 3,8
Note que esse é um intervalo mais preciso do que o anterior.
Multiplicando esses valores por 4
4 x 3,7 < 4 x √14 < 4 x 3,8
14,8 m < EF < 15,2 m
O que nos permitiria encontrar, também, a alternativa (c) como a única correta.
Usando uma calculadora, o valor de 4√14 é de aproximadamente 14,97.
