(UERJ 2016) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C1 e C2, pertencentes ao mesmo plano α. O segmento C1C2 mede 6 cm.

(UERJ 2016) Na figura abaixo, estão representados dois círculos congruentes, de centros C₁ e C₂, pertencentes ao mesmo plano α. O segmento C₁C₂ mede 6 cm.

figura do enunciado da questão da UERJ 2016 com dois círculos congruentes

A área da região limitada pelos círculos, em cm², possui valor aproximado de:

(A) 108
(B) 162
(C) 182
(D) 216

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2016 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada em 13/09/2015.

Analisando a figura, podemos notar que o segmento C₁C₂ tem a mesma medida do raio desses círculos, logo o raio mede 6 cm.

A área da região limitada pelos círculos, em cm², é igual a soma das áreas dos dois círculos, menos a área verde, vamos denotá-la por Av. Deste modo, temos que calcular:

πR² + πR² - Av

π(6)² + π(6)² - Av

36π + 36π - Av

72π - Av

Precisamos encontrar Av, ao desenharmos 2 raios partindo de C1 e outros 2 raios partindo de C2, vamos observar dois triângulos equiláteros de lado igual a 6 cm.

imagem da figura com os dois triângulos equiláteros

Neste momento, é importante estar atento para o fato de que os três ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°. A área Av é igual a soma das áreas dos dois triângulos equiláteros de lado igual a 6 cm e dos quatro segmentos circulares que eles formam. Vamos denotar por AT a área de um desses triângulos equiláteros e por ASC a área de um desses segmentos circulares.

No link a seguir, você pode fazer uma revisão dessas fórmulas.

>> Fórmulas e Exercícios de Áreas de Figuras Planas

Nesta resolução, vamos diretamente à aplicação delas:

Av = 2 AT + 4 ASC

Vamos calcular separadamente, essas áreas em cm²:

AT = (Lado² √3)/4

AT = (6² √3)/4

AT = (36√3)/4

AT = 9√3

ASC = (área do setor circular) - (área do triângulo equilátero)

ASC = (60°/360°)πR² - 9√3

ASC = (1/6)π · 36 - 9√3

ASC = 6π - 9√3

E agora, calculamos Av.

Av = 2 AT + 4 ASC

Av = 2 · 9√3 + 4 (6π - 9√3)

Av = 18√3 + 24π - 36√3

Av = -18√3 + 24π

Agora, voltamos com esse valor encontrado na expressão que chegamos durante os cálculos iniciais:

72π - Av

72π - (-18√3 + 24π)

72π - 24π + 18√3

48π + 18√3

Considerando 3,14 como aproximação para π e 1,73 como aproximação para √3.

48·(3,14) + 18·(1,73)

150,72 + 31,14

181,86

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.