(UERJ 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
(UERJ 2016) Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:
O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y < 60.
Os valores respectivos de x e y são:
(A) 4 e 12
(B) 8 e 24
(C) 25 e 12
(D) 50 e 24
Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2016 (1º Exame de Qualificação), prova aplicada em 14/06/2015.
Para resolver essa questão de análise combinatória, primeiro precisamos calcular todas as possibilidades distintas de iluminação do painel. Vamos fazer isso utilizando a permutação com repetição.
De acordo com o enunciado, a cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.
Isto quer dizer que existem dois casos principais distintos:
2 azuis, 1 vermelha, 6 brancas
Ou
2 vermelhas, 1 azul e 6 brancas
** Nesta resolução, as brancas referem-se às partes do painel que permancem apagadas.
Para os dois casos acima, as quantidades serão as mesmas, portanto, o que vamos fazer é calcular a quantidade para o primeiro caso e depois multiplicar esse valor por 2.
*** A grosso modo, esse problema é análogo ao de calcular o número de anagramas de "AAVBBBBBB" mais o número de anagramas de "VVABBBBBB".
Vamos encontrar essa quantidade de possibilidades calculando a permutação com repetição. Temos 9 cores no total, sendo 2 azuis, 1 vermelha e 6 brancas. Logo, a permutação com repetição é dada por:
P9(2,6) = 9!
2!6!
2!6!
P9(2,6) = (9 x 8 x 7 x 6!)/(2 x 6!)
P9(2,6) = 252
Se calcularmos a quantidade para 2 vermelhas, 1 azul e 6 brancas o número encontrado também será igual a 252. É por isso que agora vamos multiplicar 252 por 2.
252 x 2 = 504
Este número é a quantidade de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel. Sabemos que a cada segundo, uma dessas possíveis imagens é gerada no painel. Então, o tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as 504 possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a 504 segundos.
Vamos dividir 504 por 60, o quociente será a quantidade x de minutos e o resto será a quantidade y de segundos.
504 | 60
24 8
O que resulta em 8 minutos e 24 segundos. Logo, temos que x = 8 e y = 24.
Alternativa correta é a letra b).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.
Um forte abraço e bons estudos.