(EEAR CFS 1/2025) Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ .

(EEAR CFS 1/2025) Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ . 

a) x² − 5
b) −3x + 6
c) 2x − 10
d) 9x − 15

---

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025.  Prova aplicada em 14/07/2024.

Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto.

Ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3), estamos dividindo P(x) por um polinômio de grau 2, vejamos:

(x − 2).(x − 3) = x² -3x -2x + 6 = x² - 5x + 6

Neste caso, o grau do polinômio do resto dessa divisão será de grau 1 ou inferior. 

Ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x) = ax + b.  Vamos reescrever P(x).

P(x) = (x − 2)·(x − 3)·Q(x) + R(x)

P(x) = (x − 2)·(x − 3)·Q(x) + ax + b

• Do enunciado: "ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3".

De acordo com o Teorema do Resto, quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax + b, temos que:

P (raiz do binômio) = resto da divisão de P(x) por ax+b

Calculando a raiz de x - 2

x - 2 = 0

x = 2

Pelo Teorema do Resto, sabemos que P(2) = 3

Vamos utilizar essa informação na equação de P(x).

P(2) = (2 − 2)·(2 − 3)·Q(2) + 2a + b = 3

P(2) = 0·(-1)·Q(2) + 2a + b = 3

2a + b = 3

Vamos repetir o mesmo processo a seguir.

• Do enunciado:  "ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12".

x-3 = 0

x = 3

Logo, P(3) = 12

Novamente, vamos utilizar essa informação na equação de P(x).

P(3) = (3 − 2)·(3 − 3)·Q(3) + 3a + b = 12

P(3) = 1·(0)·Q(3) + 3a + b = 12

3a + b = 12

Assim, temos um sistema linear 

{	2a + b = 3
	3a + b = 12

Existem vários métodos para resolver um sistema linear, neste caso, vou reescrever a segunda equação da seguinte forma:

3a + b = 12    

a + 2a + b = 12    

Na segunda equação, vou trocar o valor de 2a + b por 3, conforme está definido na primeira equação.

a + 2a + b = 12    

a + 3 = 12    

a = 12 - 3

a = 9

Agora, podemos obter b na primeira equação, usando a = 9.

2a + b = 3  

2(9) + b = 3  

18 + b = 3

b = 3 - 18

b = -15

Finalmente, temos que 

R(x) = ax + b

R(x) = 9x + (-15)

R(x) = 9x -15

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.