(EEAR CFS 1/2025) Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ .
(EEAR CFS 1/2025) Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ .
a) x2
− 5
b) −3x + 6
c) 2x − 10
d) 9x − 15
Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025. Prova aplicada em 14/07/2024.
Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto.
Ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3), estamos dividindo P(x) por um polinômio de grau 2, vejamos:
(x − 2).(x − 3) = x2 -3x -2x + 6 = x2 - 5x + 6
Neste caso, o grau do polinômio do resto dessa divisão será de grau 1 ou inferior.
Ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x) = ax + b. Vamos reescrever P(x).
P(x) = (x − 2)·(x − 3)·Q(x) + R(x)
P(x) = (x − 2)·(x − 3)·Q(x) + ax + b
- Do enunciado: "ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3".
De acordo com o Teorema do Resto, quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax + b, temos que:
P (raiz do binômio) = resto da divisão de P(x) por ax+b
Calculando a raiz de x - 2
x - 2 = 0
x = 2
Pelo Teorema do Resto, sabemos que P(2) = 3
Vamos utilizar essa informação na equação de P(x).
P(2) = (2 − 2)·(2 − 3)·Q(2) + 2a + b = 3
P(2) = 0·(-1)·Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3
Vamos repetir o mesmo processo a seguir.
- Do enunciado: "ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12".
x-3 = 0
x = 3
Logo, P(3) = 12
Novamente, vamos utilizar essa informação na equação de P(x).
P(3) = (3 − 2)·(3 − 3)·Q(3) + 3a + b = 12
P(3) = 1·(0)·Q(3) + 3a + b = 12
3a + b = 12
Assim, temos um sistema linear
{ | 2a + b = 3 |
3a + b = 12 |
Existem vários métodos para resolver um sistema linear, neste caso, vou reescrever a segunda equação da seguinte forma:
3a + b = 12
a + 2a + b = 12
Na segunda equação, vou trocar o valor de 2a + b por 3, conforme está definido na primeira equação.
a + 2a + b = 12
a + 3 = 12
a = 12 - 3
a = 9
Agora, podemos obter b na primeira equação, usando a = 9.
2a + b = 3
2(9) + b = 3
18 + b = 3
b = 3 - 18
b = -15
Finalmente, temos que
R(x) = ax + b
R(x) = 9x + (-15)
R(x) = 9x -15
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.
Um forte abraço e bons estudos.