(ESA 2025) Um cone circular reto de altura 𝐻 e raio 𝑅 deverá ser seccionado por um plano 𝛼 paralelo à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre 𝛼 e o plano da base do cone?
(ESA 2025) Um cone circular reto de altura 𝐻 e raio 𝑅 deverá ser seccionado por um plano 𝛼 paralelo à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre 𝛼 e o plano da base do cone?
a) 3√2 − 1 H
3√2
b) 3√2 − 1 H
2
c) 3√2 H
2
d) 3√2 + 1 H
3√2
e) 3√2 + 1 H
2
Solução: uma questão muito interessante de matemática (geometria espacial) da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26. Prova aplicada em 15/09/2024.
Para facilitar a resolução, vamos ilustrar a secção do cone circular reto por um plano 𝛼 paralelo à base do cone e as medidas que serão importantes para realizar os cálculos.

Pelo enunciado, "a secção determina dois sólidos de mesmo volume", na figura acima, podemos notar que o corte gerou um cone menor de altura h e raio r, e um tronco de cone. Vamos considerar que o volume do cone menor é igual a V, deste modo, também vale V o volume do tronco de cone.
O volume do cone maior vale V + V = 2V. Nesta resolução, não vamos precisar da fórmula do volume do tronco de cone.
Nosso objetivo é encontrar x, ou seja, a distância entre 𝛼 e o plano da base do cone. Na ilustração acima, podemos notar que
H = h + x
Isolando x, temos que
x = H - h "Equação I"
Há um detalhe importante que vai nos ajudar nesta resolução, o cone maior foi seccionado por um plano paralelo à sua base, portanto, sabemos que o cone maior e o cone menor são semelhantes. Caso necessário, você pode conferir também essa resolução. Logo, temos que
(razão de semelhança)3 = (volume do cone maior)/(volume do cone menor)
Vamos obter a razão de semelhança dividindo H por h.
(H/h)3 = 2V/V
H3/h3 = 2
H3 = 2h3
h3 = H3/2
h = H / 3√2
Finalmente, podemos encontrar x usando a equação I:
x = H - h
x = H - H / 3√2
x = H (1 - 1/ 3√2)
x = H (3√2 - 1 )
3√2
3√2
Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.
Um forte abraço e bons estudos.