(ESA 2025) Um cone circular reto de altura 𝐻 e raio 𝑅 deverá ser seccionado por um plano 𝛼 paralelo à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre 𝛼 e o plano da base do cone?

a) 32 − 1  H
        32

b) 32 − 1  H
            2

c) 32   H
        2

d) 32 + 1  H
        32

e) 32 + 1  H
           2


Solução: uma questão muito interessante de matemática (geometria espacial) da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024.

Para facilitar a resolução, vamos ilustrar a secção do cone circular reto por um plano 𝛼 paralelo à base do cone e as medidas que serão importantes para realizar os cálculos.

cone circular reto seccionado por um plano alfa paralelo à base


Pelo enunciado,  "a secção determina dois sólidos de mesmo volume", na figura acima, podemos notar que o corte gerou um cone menor de altura h e raio r, e um tronco de cone.  Vamos considerar que o volume do cone menor é igual a V, deste modo, também vale V o volume do tronco de cone.  

O volume do cone maior vale V + V = 2V.  Nesta resolução, não vamos precisar da fórmula do volume do tronco de cone.

Nosso objetivo é encontrar x, ou seja, a distância entre 𝛼 e o plano da base do cone.  Na ilustração acima, podemos notar que

H = h + x 

Isolando x, temos que 

x = H - h   "Equação I"

Há um detalhe importante que vai nos ajudar nesta resolução, o cone maior foi seccionado por um plano paralelo à sua base, portanto, sabemos que o cone maior e o cone menor são semelhantes.  Caso necessário, você pode conferir também essa resolução.  Logo, temos que 

(razão de semelhança)3 = (volume do cone maior)/(volume do cone menor)

Vamos obter a razão de semelhança dividindo H por h.

(H/h)3 = 2V/V
H3/h3 = 2
H3 = 2h3
h3 = H3/2
h = H / 3√2

Finalmente, podemos encontrar x usando a equação I:

x = H - h
x = H - H / 3√2
x = H (1 - 1/ 3√2)
x = H  (3√2 - 1 )
                    3√2

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.