(UFPR 2024) Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S1, S2 e S3, conforme a figura ao lado. Os volumes de S1, S2 e S3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S1 é igual a 3√7. Assinale a alternativa que corresponde à razão q.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.
Uma questão bem interessante englobando vários conceitos da matemática incluindo geometria espacial e progressões geométricas. Os dois planos paralelos à base do cone circular reto S geraram cones semelhantes. Por exemplo, o cone S é semelhante ao cone S
1. Isto quer dizer que há uma razão de semelhança entre eles. Ela pode ser obtida, entre os cones S e S
1 por meio do quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S
1 , o enunciado já nos informou que essa razão vale
3√7. Isto quer dizer que
(Razão de semelhança)3 = VS / VS1
VS é o volume do cone S e VS1 é o volume do cone S1
Caso necessário, você pode revisar esses conceitos nesta questão.
(3√7)3 = VS / VS1
7 = VS / VS1
VS = 7 VS1
Chegamos à conclusão de que o volume do cone S equivale a 7 vezes o volume do cone S1.
Dica: 7 = 1 + 2 + 4. Observar isso vai nos ajudar a encontrar a razão da PG com mais facilidade. Note que 1,2,4 é uma PG onde primeiro termo vale 1 e a razão q vale 2. Somando os três primeiros termos dessa PG, ou seja, 1 + 2 + 4 temos exatamente o 7.
O enunciado nos informa que os três volumes: VS1, VS2 e VS3, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1.
Sabemos que a soma dos três volumes é igual a VS. Podemos notar que os volumes só podem valer VS1, 2VS1, 4VS1 cuja soma será 7VS1. Vamos ver isso passo a passo.
VS1 + VS2 + VS3 = VS
Substituindo VS por 7 VS1, temos
VS1 + VS2 + VS3 = 7VS1
O que vamos fazer agora é escrever 7VS1 como sendo (1+2+4)VS1
VS1 + VS2 + VS3 = (1+2+4)VS1
VS1 + VS2 + VS3 = 1 VS1 + 2 VS1 + 4 VS1
Repare que o segundo membro da igualdade (1 VS1 + 2 VS1 + 4 VS1) é a soma dos três primeiros termos de uma PG onde o primeiro termo é VS1 e a razão q da PG é igual 2.
Alternativa correta é a letra a).
Obs: como eu poderia resolver essa questão se não tivesse visualizado que 7 = 1 + 2 + 4 ?
Ainda assim, seria possível encontrar a razão q, vejamos:
VS1 + VS2 + VS3 = 7VS1
Nós sabemos que
VS2 = VS1. q
VS3 = VS1 . q²
Vamos colocar o primeiro membro da igualdade em termos de VS1 e q.
VS1 + VS1 . q + VS1 . q² = 7 VS1
VS1 (1 + q + q²) = 7 VS1
1 + q + q² = 7
q² + q - 6 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, chegaríamos nas raízes -3 ou 2, porém, como o valor de q é positivo, ficaríamos apenas com o valor de q=2.
Aproveite para praticar esse tema com uma questão parecida sobre razão de semelhança do Vestibular UERJ.
Ou então, continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.
Um forte abraço e bons estudos.
