(UERJ 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B.  Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais.

Considere as seguintes medidas da pirâmide:

• altura = 9 cm;
• aresta da base = 6 cm;
• volume total = 108 cm³.

O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , é: 

(A) 26 (B) 24 (C) 28 (D) 30

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada no dia 16/09/2018.

Uma questão bem interessante de geometria espacial, envolvendo vários conceitos relacionados a pirâmides.  Os dois planos paralelos à base criaram três pirâmides semelhantes, vamos chamá-las de P3, P2 e P1, sendo VP3 > VP2 > VP1 , onde VP é o volume de cada uma dessas pirâmides.  Basicamente, a P3 tem o maior volume, a P2 tem o segundo maior volume e a P1 tem o menor volume. Vamos ilustrar essas pirâmides para simplificar os comentários daqui pra frente.


Perceba que os dois planos paralelos à base estão dividindo cada aresta lateral em três partes iguais.  Note que chamamos cada uma dessas partes de "a", de modo que a pirâmide P3, a maior de todas elas, possui aresta lateral de 3a, já a P2 possui aresta lateral de 2a e a P1 possui aresta lateral de a.

O objetivo da questão é encontrar o volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , note que podemos fazer isso calculando o volume da pirâmide 2 menos o volume da pirâmide 1, ou seja, precisamos calcular (VP2 - VP1).

Nós já temos o volume da pirâmide 3, pois o enunciado informou que o volume total da pirâmide é de 108 cm³, ou seja, VP3 = 108 cm³.  

Agora, como podemos encontrar os volumes das outras pirâmides?  

Para encontrá-los, vamos utilizar a razão de semelhança, uma vez que conhecemos VP3 e as arestas laterais de todas as pirâmides.  Com estas medidas, podemos encontrar tanto VP1 quanto VP2.

  • Encontrando VP1

Primeiro, vamos encontrar a razão de semelhança k

k = (aresta lateral de P1 / aresta lateral de P3)
k = a/3a
k = 1/3

Agora, calculamos 

k3 = VP1 / VP3
(1/3)3 = VP1 / 108
VP1 = 108/27
VP1 = 4 cm³

  • Encontrando VP2

Neste cálculo, vamos fazer de forma mais breve:

(aresta lateral de P2 / aresta lateral de P3)3 = VP2 / VP3
(2a/3a)3 = VP2 / 108
(2/3)3 = VP2 / 108
8/27 = VP2 / 108
VP2 = (8/27) . (108)
VP2 = 8 . 4
VP2 = 32 cm³

Finalmente, o volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , é igual a: 

VP2 - VP1
32 - 4
28

Alternativa correta é a letra c).

Caso queira estudar os conceitos aplicados nesta questão e também outros relacionados a pirâmides, recomendamos o conteúdo disponível em:

http://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/geometria/piramides.html
Acesso realizado em 24/08/2023

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.