(UERJ 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais.
(UERJ 2019) Observe na imagem uma pirâmide de base quadrada, seccionada por dois planos paralelos à base, um contendo o ponto A e o outro o ponto B. Esses planos dividem cada aresta lateral em três partes iguais.
Considere as seguintes medidas da pirâmide:
• altura = 9 cm;
• aresta da base = 6 cm;
• volume total = 108 cm³.
O volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , é:
(A) 26 (B) 24 (C) 28 (D) 30
Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada no dia 16/09/2018.
O objetivo da questão é encontrar o volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , note que podemos fazer isso calculando o volume da pirâmide 2 menos o volume da pirâmide 1, ou seja, precisamos calcular (VP2 - VP1).
Nós já temos o volume da pirâmide 3, pois o enunciado informou que o volume total da pirâmide é de 108 cm³, ou seja, VP3 = 108 cm³.
Agora, como podemos encontrar os volumes das outras pirâmides?
Para encontrá-los, vamos utilizar a razão de semelhança, uma vez que conhecemos VP3 e as arestas laterais de todas as pirâmides. Com estas medidas, podemos encontrar tanto VP1 quanto VP2.
- Encontrando VP1
Primeiro, vamos encontrar a razão de semelhança k
k = (aresta lateral de P1 / aresta lateral de P3)
k = a/3a
k = 1/3
Agora, calculamos
k3 = VP1 / VP3
(1/3)3 = VP1 / 108
VP1 = 108/27
VP1 = 4 cm³
- Encontrando VP2
Neste cálculo, vamos fazer de forma mais breve:
(aresta lateral de P2 / aresta lateral de P3)3 = VP2 / VP3
(2a/3a)3 = VP2 / 108
(2/3)3 = VP2 / 108
8/27 = VP2 / 108
VP2 = (8/27) . (108)
VP2 = 8 . 4
VP2 = 32 cm³
Finalmente, o volume da região compreendida entre os planos paralelos, em cm³ , é igual a:
VP2 - VP1
32 - 4
28
Um forte abraço e bons estudos.