(UECE 2024.2) Seja U o conjunto dos números inteiros menores do que 1000 e maiores do que 100. Considere os subconjuntos de U : X = { n ∈ U; n é múltiplo de 2} e Y = { n ∈ U; n é múltiplo de 3}. O número de elementos do subconjunto X ∪ Y é

(UECE 2024.2) Seja U o conjunto dos números inteiros menores do que 1000 e maiores do que 100. Considere os subconjuntos de U : X = { n ∈ U; n é múltiplo de 2} e Y = { n ∈ U; n é múltiplo de 3}. O número de elementos do subconjunto X ∪ Y é 

A) 749. B) 669. C) 629. D) 599.

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024.

Nesta resolução, vamos considerar o seguinte:

• n(X) = número de elementos de X;
• n(Y) = número de elementos de Y;
• n(X ∪ Y) = número de elementos de X ∪ Y;
• n(X ∩ Y) = número de elementos de X ∩ Y.

Nosso objetivo é calcular n(X ∪ Y), vamos usar a seguinte relação:

n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)

Precisamos ter em mente que existem números que pertencem a X e também pertencem a Y, ou seja, o conjunto X ∩ Y, são os múltiplos de 6.  Isto porque 6 é o MMC (mínimo múltiplo comum) entre 2 e 3.

>> Caso necessário, você pode conferir neste artigo como calcular o MMC e o MDC entre dois ou mais números.

A seguir, vamos listar alguns dos elementos de X.  

2 x 51 = 102 "menor número"

2 x 52 = 104

( ... )

2 x 498 = 996

2 x 499 = 998  "maior número"

Essa lista, assim como as demais dessa resolução, tem o propósito de ilustrar esses números, o importante é observar que o menor número é o 102 = 2 x 51 e o maior número é o 998 = 2 x 499.  

A seguir, vamos calcular n(X).

n(X) = 499 - 51 + 1 = 449

A seguir, vamos listar alguns dos elementos de Y.

3 x 34 = 102  "menor número"

3 x 35 = 105

( ... )

3 x 332 = 996

3 x 333 = 999   "maior número"

n(Y) = 333 - 34 + 1 = 300

A seguir, vamos listar alguns dos elementos de X ∩ Y.

6 x 17 = 102  "menor número"

( ... )

6 x 166 = 996  "maior número"

n(Y) = 166 - 17 + 1 = 150

Finalmente, o número de elementos do subconjunto X ∪ Y é 

n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)

n(X ∪ Y) = 449 + 300 - 150

n(X ∪ Y) = 599

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.