(ENEM 2024) Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 cm por 20 cm. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
A) 4000 π
B) 2000 π
C) 4000/π
D) 1000/π
E) 500/π
Solução: questão de matemática (geometria espacial) do ENEM 2024, prova aplicada em 10/11/2024.
O enunciado apresenta uma situação interessante, vamos resolver essa questão passo a passo. Em primeiro lugar, o volume do cilindro é calculado pela fórmula:
V = π R² h
Sendo R a medida do raio da base e h a medida da altura do cilindro.
Nesta resolução,
V1 é o volume da embalagem 1;
C1 é o comprimento da circunferência da base da embalagem 1;
R1 é o raio da base da embalagem 1;
h1 é a altura da embalagem 1;
Para a embalagem 2, idem acima, mantendo as letras, apenas trocando os números 1 por 2.
Atenção, pois a figura do enunciado nos dá duas medidas sobre cada embalagem, são elas: altura do cilindro e comprimento da circunferência da base da embalagem. Por exemplo, para a embalagem 1, essas medidas são:
h1 = 20 cm
C1 = 10 cm
Muita atenção, pois neste caso 10 cm não é o valor de R1, mas sim de C1.
Neste momento, vamos usar a fórmula do comprimento da circunferência para encontrarmos quanto vale R1 e R2:
C = 2πR
Vamos isolar R.
R = C/2π
Agora, vamos utilizar a fórmula acima para encontrar R1 e R2.
R1 = C1/2π
R1 = 10/2π
R1 = 5/π cm
R2 = C2/2π
R2 = 20/2π
R2 = 10/π cm
Podemos notar o seguinte: h2 = 10 cm é a metade de h1 = 20 cm, porém R2 é o dobro de R1. Na fórmula do volume do cilindro, a medida do raio será elevada ao quadrado, fazendo com que V2 seja o dobro de V1. Portanto, V2 é o maior volume. Mesmo assim, vamos calcular os dois volumes passo a passo:
V1 = π R1² h1
V1 = π (5/π)² 20
V1 = π (25/π²) 20
V1 = 500/π
V2 = π R2² h2
V2 = π (10/π)² 10
V2 = π (100/π²) 10
V2 = 1000/π
Obs: V2 é o dobro de V1 conforme foi comentado.
Finalmente, podemos concluir que dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a 1000/π.
Alternativa correta é a letra (D).
