(ENEM 2024) Um proprietário pretende instalar um sensor de
presença para a proteção de seu imóvel. O sensor
deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa
determinada região plana. A figura ilustra a vista superior
da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor
colocado no ponto S. Essa área depende da medida do
ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a
área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior
essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis
no mercado, cada um com as seguintes características:
• tipo I: α = 15° e R = 20 m;
• tipo II: α = 30° e R = 22 m;
• tipo III: α = 40° e R = 12 m;
• tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
• tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores
que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida
70 m², com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Solução: questão de matemática (geometria plana) do ENEM 2024, prova aplicada em 10/11/2024.
Para resolver essa questão, vamos utilizar a fórmula da área do setor circular quando trabalhamos com α em graus.
Área = α ·π·R²
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Na resolução desta questão, é possível simplificar um pouco mais essa fórmula, isto porque o enunciado pede para usar 3 como valor aproximado para π.
Nesta resolução, vamos denotar as áreas de cobertura dos cinco tipos de sensores disponíveis no mercado por AI, AII, AIII, AIV e AV.
De acordo com o enunciado, esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível. Além disso, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Portanto, vamos procurar as áreas que sejam maiores ou iguais a 70 m² e escolheremos, dentre elas, a que tiver a menor área, pois será a opção mais barata.
Efetuando os cálculos:
AI = (15/120)·20²=(1/8)·400=50 m² ✘
AII = (30/120)·22²=(1/4)·484=121 m² ✓
AIII = (40/120)·12²=(1/3)·144=48 m² ✘
AIV = (60/120)·16²=(1/2)·256=128 m² ✓
AV = (90/120)·10²=(3/4)·100=75 m² ✓
Os sensores do tipo I e III devem ser descartados, pois não são capazes de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m².
Já os demais sensores (II, IV e V) são capazes de cobrir essa área, sendo o do tipo V o mais barato, pois cobre a menor área.
Podemos concluir que dentre esses cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, o proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo V.
Alternativa correta é a letra (E).
