(ENEM 2024)  Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro. Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor. Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características: • tipo I: α = 15° e R = 20 m; • tipo II: α = 30° e R = 22 m; • tipo III: α = 40° e R = 12 m; • tipo IV: α = 60° e R = 16 m; • tipo V: α = 90° e R = 10 m. Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.  Use 3 como valor aproximado para...

(EEAR CFS 1/2025)  A figura é composta de 4 triângulos equiláteros, congruentes entre si e de lado a = 4 cm, e de um círculo de centro O, cuja circunferência passa pelos pontos médios das alturas dos triângulos. Se O é vértice comum aos 4 triângulos, então a área hachurada/destacada é de _______ π cm². a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025 .  Prova aplicada em 14/07/2024. Em primeiro lugar, vamos obter a altura h do triângulo equilátero de lado a = 4 cm. h = (a√3)/2 h = (4√3)/2 h = 2√3 cm Caso necessário, você pode revisar essa fórmula aqui:  como calcular a área de um triângulo equilátero (três métodos diferentes) . A metade dessa altura, vale ( 2√3)/2 =  √3 cm Portanto, o raio do círculo mede  √3 cm A área hachur...

( UFPR 2023 )  Na figura ao lado, estão representadas quatro circunferências de raio r = 1 cm que são tangentes nos pontos A, B, C e D.  Assinale a alternativa que corresponde ao valor, em cm², da área hachurada em cinza. a) π - 1. b) π - 2. c) 2 - π/2. d) 4 - π.  e) 4 - π/2.  Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022. Uma questão bem interessante de geometria plana, repare na ilustração a seguir que podemos encontrar a área cinza por meio da diferença entre duas áreas. Área Cinza = (Área do quadrado) - (Área em Azul) Note que a Área em Azul é formada por 4 "pedaços", os quais são setores circulares de raio r igual a 1 cm e ângulo central de 90°.  Estes 4 pedaços juntos possuem a mesma área de um círculo de raio r igual a 1 cm. Área em Azul  = π . r² = π . 1² =  π cm² Área do quadrado = (2r)² = 4r² = 4 . 1² = 4 cm² Finalmente, temos que  Área Ci...

(EEAR CFS 1/2023)  Um jardim tem a forma da figura, sendo ΔABC um triângulo retângulo em A e BC um arco de diâmetro BC . De acordo com as medidas dadas na figura e usando π = 3,14, a área desse jardim é ____ m² . a) 295 b) 282 c) 260 d) 253 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Área do ΔABC = (base x altura)/2 Área do ΔABC = (16 x 12)/2 Área do ΔABC = (16 x 6) Área do ΔABC = 96 m² Agora, vamos trabalhar na área do setor circular da figura que é igual a metade da área de um círculo de raio R, sendo R a metade do diâmetro BC.  Ou seja, temos que Área do setor circular = (π R²) / 2     (Equação I) Quanto vale BC? BC é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC cujos lados são proporcionais a 3 , 4 e 5 .   AB = 12 = 3 . 4 AC = 16 = 4 . 4 BC = 20 = 5 . 4 Sendo assim, BC = 20 m. Também podemos obter BC usando o Teorema de Pitágoras: 12...

(ENEM 2021 Reaplicação)  Um suporte será instalado no box de um banheiro para serem colocados recipientes de xampu, condicionador e sabonete líquido, sendo que o recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm. Para maior conforto no interior do box, a proprietária do apartamento decidiu comprar o suporte que tiver a base de menor área, desde que a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte.  Nas figuras, vemos as bases desses suportes, nas quais todas as medidas indicadas estão em centímetro. Utilize 3,14 como aproximação para π. Para atender à sua decisão, qual tipo de suporte a proprietária comprou? a) I b) II c) III d) IV e) V Solução:  questão de matemática do ENEM 2021 (Reaplicação),   prova do dia 16/01/2022. Para resolvermos essa questão de geometria plana, em primeiro lugar, temos que identificar quais das cinco figuras propostas são capazes de suportar as bases dos 3 recipi...

(EEAR CFS 1/2022) Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60° cada. Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada (em cinza) mede ______ π cm² . a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Questão bem interessante de geometria plana, repare que teremos que calcular a área do setor circular, o trabalho pode ser facilitado se tomarmos o caminho a seguir. Repare na figura que a área hachurada representa exatamente a metade da área de um círculo de raio 10cm. Área do círculo = π. R² = π . 10² = 100.π cm² Como queremos a metade disso, então a área hachurada vale 100π / 2 = 50π cm².   Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. Um forte abraço e...

(Colégio Naval 2021) A figura 1 retrata um dos símbolos mais tradicionais da Marinha do Brasil.  Ele é utilizado nos uniformes dos oficiais da armada e faz referência à volta que o Almirante Nelson, oficial inglês, levava em um pequeno cabo amarrado à manga de seu dólmã. Uma costureira, na confecção de uniformes, o reproduziu como uma combinação de duas figuras geométricas:  um círculo e um retângulo, figura 2.  Assinale a opção que contenha o valor da área hachurada, sabendo que o diâmetro do círculo, figura 2, é igual a 20 mm e que AB vale 12mm. a) 2 . (2π - 5) b) 3 . (5π - 10) c) 4 . (5π - 12) d) 5 . (2π - 3) e) 6 . (4π - 5) Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Questão de geometria muito rica, onde utilizaremos vários conceitos e relações métricas na circunferência.  Vamos ilustrar a resolução deste problema: Podemos encontrar X por meio da seguinte relação...

(UFPR 2021) Na figura ao lado, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo α mede π/3 radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é: a) (π√3)/3 b) (2π)/3 c) (2π√3)/9 d)  (π√3)/6 e) (4π√3)/9 Solução: questão interessante sobre área do setor circular e área do triângulo do Vestibular UFPR 2021.  Vamos considerar R como sendo o raio dessa circunferência. Área do Setor PCQ = [ (π/3) / 2π ]  .  π . R²  = (π/6π)  .  π . R²  = (1/6)  .  π . R²  =  ( π . R² ) / 6 Área do Triângulo PCQ = 1/2 . sen (π/3) . R . R  = 1/2 .  √3 / 2 . R²  = ( R² . √3 ) / 4 Agora, basta dividir: [ ( π . R² ) / 6 ] / [ ( R² . √3 ) / 4 ]  [ ( π . R² ) / 6  ] * [  4 /  ( R² . √3 )   ]  [ π / 6 ] * [ 4 / √3 ] 4 π  / 6 √3      ( vamos multiplicar por  √3 / √3 ) (4 π √3 ) / ( 6 . 3 ) (4 π √3 ) / ( 18 ) (2 π √3) / 9  Alternativa corre...

(Concurso: Professor de Matemática da Educação Básica - Prefeitura de Teresina/PI. 2019 Banca: NUCEPE) Três circunferências são duas a duas tangentes entre si e possuem o mesmo raio, igual a 5 cm, como mostra a figura a seguir. Qual a medida da área cinza formada pelo tangenciamento das três circunferências? Solução: questão muito interessante de geometria plana, onde precisamos calcular a área de setores circulares e de um triângulo equilátero, vamos desenhar na figura a seguir alguns valores estratégicos, de modo a facilitar a nossa compreensão e resolução. Para encontrar a área cinza (AC), basta calcular a área de um triângulo equilátero (AT) de lado 10 cm e depois subtrair por 3 vezes a área de um setor circular (AS) de raio 5 cm e ângulo de 60°. AC = AT - 3 x AS AC = (10²√3)/4 - 3 x (60º/360° π 5²) AC = (100√3)/4 - 3 x (1/6 π 25) AC = (25√3) - (25π/2) AC = 25 ( √3 - π/2 ) Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com Exercícios Resolvidos...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2011 - Banca CEPERJ)    A figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 cm de raio, tangentes entre si. Considerando √3 =  1,73 e π = 3,14, o valor da área sombreada, em cm², é:  A) 320 B) 330 C) 340 D) 350 E) 360 Solução: questão de geometria do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2011. A questão é bastante interessante, pois envolve o cálculo de áreas de diferentes figuras geométricas.  Em primeiro lugar, temos que visualizar que será formado um triângulo equilátero, com vértices no centro dos três círculos e com medida do lado igual a 2R, ou seja, 20 cm.  Repare na ilustração a seguir: Podemos identificar que a área objetivo a ser calculada é dada pela soma de duas áreas, são elas:  >  área de um círculo de raio 10 cm;  >  área central delimitada pelas três circunferências , esta última, vamos...

Confira uma lista de questões de Geometria Plana sobre Área do Setor Circular  para você que está se preparando para concursos e vestibulares.  Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos os exercícios e depois confira o gabarito com resolução passo a passo.  Desejamos sucesso nos estudos. Exercício 1 - (Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Um bar possui um alvo, como o da figura abaixo, para entretenimento dos seus clientes em lançamento de dardos.  Este alvo é formado por figuras combinadas: um semicírculo com diâmetro AB, um semicírculo com diâmetro AC, um semicírculo com diâmetro BC e um triângulo retângulo ABC, conforme se observa na figura. Se o cateto AC mede 6 dm, a hipotenusa AB mede 10 dm e um cliente de costas para o alvo arremessa um dardo e o acerta, é correto afirmar que a probabilidade de que o dardo tenha acertado a parte sombreada do alvo é dada por uma porcentagem entre. a)   5% e 15%. b) 15% e 25%. c) 25% e 35%. d) 35% e 45%....

(Colégio Naval 2019) Observe a figura a seguir. Nela, o arco AC, de centro em B, mede 90º.  M é ponto médio do diâmetro AB do semicírculo em preto.  Essa figura representa o ponto de partida de um desenhista gráfico para a construção do logotipo de uma empresa.  As áreas das partes clara e escura somadas são iguais a 4 π .  Após análise, ele resolve escurecer 30% da área clara e apronta o logotipo.  Nessas novas condições é correto afirmar que a porcentagem da área da parte clara sobre a área total será igual a: a) 20% b) 30% c) 32% d) 35% e) 40% Solução: questão de matemática do Colégio Naval 2019 que envolve o cálculo de área de setores circulares e também porcentagem.  Vamos ilustrar alguns pontos importantes na figura: Área total (AT) é igual a área do setor ABC  = 1/4 . π . (R2)²   AT = 1/4 . π . (2.R1)² AT = 1/4 . π . 4.R1² AT = π . R1² Num primeiro momento, a área da parte clara (AC) é dada por área total (AT) menos área da parte...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Na figura abaixo, o raio do círculo mede 6 cm e o menor arco formado pelos pontos A e B mede 150º : A área do segmento circular delimitado pela parte não pontilhada mede, em cm² :  A) π – 8 B) 3π + 4 C) 8π + 3 D) 15π – 9 E) 6π – 1  Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. A área do segmento circular (A) que precisa ser calculada nesta questão é dada por: A = (área do setor OAB) - (área do triângulo OAB) área do setor OAB (θ =150º e raio = 6 cm)         π.(raio)².(θ/360º)        π . 6² . 150º/360º        36π . 5/12        15π cm² área do triângulo OAB         A área pode ser calculada por meio da fórmula a seguir:        área = lado1 x lado2 x sen θ x 1/2         6...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) O quadrado MNPQ abaixo tem lado igual a 12cm. Considere que as curvas MQ e QP representem semicircunferências de diâmetros respectivamente iguais aos segmentos MQ e QP.  A área sombreada, em cm², corresponde a:  A) 30 B) 36 C) 3(4π – 2) D) 6(3π – 1) E) 2(6π – 1) Solução:  questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015. Nesta questão de geometria, precisamos calcular a área de setores circulares.  Perceba, pelas anotações feitas na figura a seguir, que nosso objetivo é calcular a área da região hachurada (vamos denotá-la por Ah ) que é igual a área do semicírculo de raio 6, menos duas vezes a área A. A é a área de um segmento circular, podemos encontrá-la por meio da área do setor circular QAB menos a área do triângulo QAB.  Perceba que o setor circular QAB tem área igual a 1/4 da área do círculo...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Um bar possui um alvo, como o da figura abaixo, para entretenimento dos seus clientes em lançamento de dardos.  Este alvo é formado por figuras combinadas: um semicírculo com diâmetro AB, um semicírculo com diâmetro AC, um semicírculo com diâmetro BC e um triângulo retângulo ABC, conforme se observa na figura. Se o cateto AC mede 6 dm, a hipotenusa AB mede 10 dm e um cliente de costas para o alvo arremessa um dardo e o acerta, é correto afirmar que a probabilidade de que o dardo tenha acertado a parte sombreada do alvo é dada por uma porcentagem entre. a)   5% e 15%. b) 15% e 25%. c) 25% e 35%. d) 35% e 45%. e) 45% e 55%. Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020. Questão interessante que envolve probabilidade e geometria (área de figuras planas).  Dado que ele já acertou o alvo, então a probabilidade (P) de ele ter acertado exatamente a área hachurada ...

(Fuzileiro Naval 2017) Determine a área da região hachurada na figura abaixo, onde AM = MB. a) 200,86 cm² b) 198,00 cm² c) 100,48 cm² d) 50,24 cm² e) 25,12 cm² Solução: questão de matemática do concurso Soldado Fuzileiro Naval, prova de 2017 para C-FSD-FN 2018.  Nesta questão vamos calcular áreas de círculos. Área do círculo = π . R² Repare que a área hachurada é dada por: >> Metade da área do círculo de raio igual a 8 cm,  menos  duas vezes a metade da área do círculo de raio igual a 4cm. (1/2) (π · 8²) - 2 [ (1/2) · π · 4² ] (1/2) (π · 64) - (π · 16) π·32 - π·16 π · (32 - 16) 16π cm² Considerando π = 3,14 16 x 3,14 cm² 50,24 cm² Alternativa correta é a letra d). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões resolvidas de provas anteriores de Fuzileiro Naval. Um forte abraço e bons estudos.

(UNICAMP 2018) A figura abaixo exibe um setor circular dividido em duas regiões de mesma área. A razão 𝑎/𝑏 é igual a a) √3+ 1.   b) √2+ 1.   c) √3.   d) √2. Solução: questão muito interessante de geometria plana do Vestibular UNICAMP 2018, onde teremos que trabalhar a área de um setor circular. A fórmula da área de um setor circular é dada por A = θ/2 . Raio²   Com θ em radianos. Vamos desenhar na figura do enunciado alguns elementos importantes para continuarmos a resolução: Repare que a Área Total (AT) é duas vezes a área A.  Sendo assim: AT = θ/2 . (a+b)²    A =  θ/2 . (a)² Como AT = 2 . [A], então: θ/2 . (a+b)²   =  2.  [θ/2 . (a)²] (a+b)²   =  2. (a)² (a+b)²   =  (√2)². (a)² (a+b)²   =  [(√2). a]² Como a e b são positivos: a+b = (√2). a b = (√2). a - a b = a [ (√2) -1] O comando da questão busca encontrar a razão 𝑎/𝑏 que é igual a:   ...