(ENEM 2024 Reaplicação/PPL) Questão de geometria espacial que apresenta um tanque de armazenamento de líquidos com o formato de uma pirâmide reta de base quadrada.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de 0,015 m3/s.
Sabe-se que 1 L = 1 dm3 = 0,001 m3.
Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo t, em segundo?
Resolução Comentada
Uma questão muito interessante de geometria espacial do ENEM, para resolvê-la, podemos trabalhar com a fórmula a seguir:
v/V = k3
Sendo (v) o volume da pirâmide menor, (V) o volume da pirâmide maior e (k) a razão de semelhança. Neste problema, vamos usar (k = h/H), sendo (h) a altura da pirâmide menor e (H) a altura da pirâmide maior. Otimizando a fórmula para o nosso caso:
v/V = (h/H)3
v/V = h3/H3
Para saber mais sobre essa fórmula com exemplos de questões resolvidas, poderá gostar dessas duas questões:
São dados no enunciado:
➡️ A altura do tanque de armazenamento: H = 2m.
➡️ O volume do tanque de armazenamento: V = 240 L = 240 × 0,001 m3 = 0,24 m3. Mantendo volume em m³ e altura em metros.
Detalhe importante: os valores de V e H são fixos, ou seja, eles não variam com o tempo. Já o volume do líquido dentro do tanque (v) e a altura da coluna de líquido dentro desse tanque (h) estão variando conforme o tempo (t) está passando. É importante visualizar que conforme o líquido vai sendo despejado nesse tanque, esse líquido acumulado estará no mesmo formato do tanque, ou seja, no formato de pirâmide reta de base quadrada. A figura a seguir ajuda a ilustrar esse processo.
Conforme o líquido vai sendo despejado, é possível visualizar pirâmides semelhantes. A maior dessas pirâmides é o tanque, sempre de volume fixo. Já o líquido armazenado varia com o tempo, mas sempre com o formato de pirâmide reta de base quadrada.
Na ilustração acima, para um determinado tempo t1, temos uma determinada altura h1 e um volume v1 de líquido já acumulado dentro do tanque.
E o tempo continua passando, por exemplo, num tempo t2>t1 , já temos uma altura h2>h1 e um volume v2>v1. E assim vai, até encher o tanque.
Agora, vem uma pergunta importante: neste caso, como podemos expressar v em função de t?
Do enunciado: “... Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de 0,015 m3/s.”
Utilizando a fórmula da vazão:
Volume = Vazão × Tempo
v = 0,015t
O volume acima está em m3, do mesmo modo que V = 0,24 m3, mantendo assim todos em m3.
➡️ A altura da coluna de líquido dentro desse tanque é um valor h que varia em função do tempo t, nosso objetivo é encontrar uma expressão para h, em metro, em função de t, em segundo.
➡️ O volume da pirâmide que representa o líquido do reservatório: v = 0,015t.
Recapitulando a seguir todos os valores que vamos utilizar na fórmula, com os volumes em m³ e as alturas em metros.
V = 0,24 ; v = 0,015t ; H = 2 ; h é a expressão que iremos descobrir utilizando a fórmula a seguir.
v/V = h3/H3
0,015t/0,24 = h3/23
Multiplicando a fração da esquerda por 100/100
15t/240 = h3/8
8·15t/240 = h3
h3 = 15t/30
h3 = t/2
h = ∛t/2
Resposta Correta
(A) ∛t/2
Curiosidade sobre esse tanque em formato de pirâmide reta de base quadrada
Analisando essa expressão, é fácil visualizar que se colocarmos um 2 ali no lugar do t, encontraremos h = 1, ou seja, leva somente 2 segundos para a altura ir de 0 até 1 metro.
E quanto tempo levaria para encher esse tanque?
Basta dividir o volume do tanque 0,24 m³ pela vazão 0,015 m³/s, o resultado será 16 segundos.
Também é possível obter esse tempo utilizando a expressão encontrada.
A tabela a seguir nos mostra alguns valores de tempo, em segundo, e a respectiva altura, em metro.
| t | h(t) |
| 0 | 0 |
| 2 | 1 |
| 16 | 2 |
Leva 2 segundos ("um tempinho") para ir de 0 até 1 m, e depois demora 14 segundos ("um tempão") para ir de 1 m até 2 m.
Curiosidade: resolvendo essa questão de matemática por eliminação das alternativas
Quando estamos diante de uma questão e não conseguimos resolvê-la durante uma prova de vestibular ou concurso, em determinadas situações é possível eliminar alternativas. Neste problema, seria fácil visualizar que em t = 16 segundos o tanque estará cheio e, portanto, a altura da coluna de líquido será de 2 metros.
Já fizemos esse cálculo: o volume do tanque, 0,24 m³, dividido pela vazão de 0,015 m³/s, resultou em 16 segundos. Ou seja, em t = 16 s, a altura será de 2 m. Em cada alternativa de resposta, podemos aplicar t = 16 e verificar qual é a altura correspondente, eliminando todas aquelas que retornarem valores diferentes de 2 metros. Fazendo isso, somente a expressão da letra (A) retorna h = 2 metros.
Mais Questões de Geometria Espacial do ENEM Resolvidas
Se você gostou dessa resolução, então aproveite para praticar com mais questões de geometria espacial do ENEM, todas são provenientes de provas anteriores e estão resolvidas passo a passo aqui no blog. A lista inclui exercícios com diferentes níveis de dificuldade.
➡️ Confira mais questões sobre geometria espacial do ENEM com resolução
Mais Questões do ENEM resolvidas
Para ampliar seus estudos, confira a relação completa com questões de matemática do ENEM resolvidas, cobrindo diversos temas de matemática:
➕ Explorar todas as questões resolvidas de matemática do ENEM
Um forte abraço e bons estudos.
