Questão de geometria espacial com cálculo de volume de cilindro.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Uma fábrica utiliza latas cilíndricas como embalagem de seus produtos. Para embalar um novo produto, essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. O representante de uma empresa de embalagens disponibilizou para essa fábrica cinco opções de latas, relacionando as medidas das latas novas com as que estão em uso. São elas:
• I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura;
• II: triplicar as medidas da área da base e da altura;
• III: triplicar a medida do raio e manter a da altura;
• IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura;
• V: triplicar as medidas do raio e da altura.
O preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica.
As exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Resolução Comentada
Nesta resolução, vamos trabalhar com a fórmula do volume do cilindro.
V = Ab · h = π·R²·h
Reforçando: o volume V do cilindro é igual a área da base Ab vezes a altura h do cilindro. Sabemos que a área da base do cilindro é igual a π·R² (área de um círculo de raio R). Durante a resolução, vamos utilizar a fórmula (V = Ab · h) e também (V = π·R²·h).
Esse tipo de problema aparece com frequência em exames, inclusive no ENEM. Com a prática, você vai realizar esses cálculos de cabeça. Apenas com a leitura dessas opções, já vai perceber que a melhor é a IV.
Vamos efetuar esses cálculos passo a passo considerando que a embalagem cilíndrica atual possui área da base Ab0, raio da base R0 e altura h0. Deste modo, o seu volume V0 é igual a:
V0 = Ab0 · h0 = π·R02·h0
Na sequência, vamos utilizar V1, V2, V3, V4 e V5 para indicar os volumes das respectivas latas, mantendo todos esses volumes em termos de V0.
• I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura;
V1 = π·(6·R0)2·h0 = π·36·R02 ·h0 = 36·π·R02·h0 = 36·V0
• II: triplicar as medidas da área da base e da altura;
V2 = (3·Ab0)·(3·h0) = 9·Ab0· h0 = 9·V0
• III: triplicar a medida do raio e manter a da altura;
V3 = π·(3·R0)2·h0 = π·9·R02·h0 = 9·π·R02·h0 = 9·V0
• IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura;
V4 = π·R02·(3·h0) = 3·π·R02·h0 = 3·V0
💡As opções 3 e 4 são interessantes para uma análise conjunta, repare bem o que acontece em cada uma delas.
• V: triplicar as medidas do raio e da altura.
V5 = π·(3·R0)2·(3·h0) = π·9·R02·3·h0 = 27·π·R02· h0 = 27·V0
O enunciado estabelece que o preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica e que essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. Portanto, as exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção IV.
Resposta Correta
(D) IV.
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Um forte abraço e bons estudos.
