Questão de geometria espacial que envolve cálculo de volume de prisma e cilindro.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.
A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.
Considere 3,1 como valor aproximado para π.
Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?
(A) 288
(B) 297
(C) 567
(D) 990
(E) 1 134
Resolução Comentada
O volume de ouro (vamos denotá-lo por Vouro) necessário para a confecção de uma única medalha pode ser calculado da seguinte forma:
Vouro = Vcilindro – Vprisma
Cálculo do volume do cilindro circular reto
Vcilindro = π·R²·h
O cilindro tem diâmetro igual a 6 cm, portanto seu raio R mede 6/2 = 3 cm. Sua altura h mede 3 mm que é igual a 0,3 cm. De acordo com o comando do enunciado, vamos considerar 3,1 como valor aproximado para π.
Vcilindro = 3,1·3²·0,3
Vcilindro = 3,1·2,7
Vcilindro = 8,37 cm³
Cálculo do volume do prisma
Vprisma = (área da base) x (altura)
A área da base desse prisma é a área do quadrado ABCD. Considerando que este quadrado tem lado igual a L, então a sua área vale L². Mas qual é o valor de L?
Nesta parte da resolução, estamos diante de um problema de geometria sobre polígonos inscritos e circunscritos. Analisando a primeira figura do enunciado, que nos indica que o diâmetro do círculo vale 6 cm, podemos notar que essa é a mesma medida da diagonal do quadrado.💡
A diagonal de um quadrado de lado L mede L√2. Deste modo,
(diâmetro do círculo) = (diagonal do quadrado ABCD)
6 = L√2
L = 6/√2 cm
Assim, encontramos que a medida do lado do quadrado ABCD é 6/√2 cm, portanto sua área vale:
Área do quadrado ABCD = [6/√2]²
Área do quadrado ABCD = 36/2
Área do quadrado ABCD = 18 cm²
Agora, para encontrarmos o volume do prisma, basta multiplicar essa área pela altura, que é 0,3 cm.
Vprisma = (área da base) x (altura)
Vprisma = 18 x 0,3
Vprisma = 5,4 cm³
Cálculo do volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção de uma única medalha
Vouro = Vcilindro – Vprisma
Vouro = 8,37 – 5,4
Vouro = 2,97 cm³
Cálculo do volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção de 100 medalhas
O objetivo da questão é encontrar o volume de ouro necessário para cunhar 100 dessas medalhas. Deste modo, multiplicamos o volume encontrado no passo anterior por 100.
100 x 2,97 cm³ = 297 cm³
Resposta Correta
(B) 297
Mais uma possibilidade de resolução
Na solução anterior, os cálculos foram comentados de forma passo a passo. A seguir, temos a mesma resolução em um formato mais objetivo.
100 × (Vcilindro – Vprisma)
100 × (π·R²·h – L²·h)
100h × (π·R² – L²)
100(0,3) × (3,1·3² – 18)
30 × (3,1·9 – 2·9)
30 × 9 (3,1 – 2)
30 × 9 × 1,1
3 × 9 × 11
297
Abordagem de Geometria Plana e Geometria Espacial na mesma questão
Percebemos que esta questão de geometria envolveu diferentes conceitos da matemática, integrando conteúdos de geometria plana e espacial. Foi necessário calcular volumes de sólidos distintos e analisar um polígono inscrito em uma circunferência para determinar sua área, evidenciando que os problemas raramente se limitam a um único tópico. Esse tipo de abordagem reforça a importância de dominar diversos conteúdos e, principalmente, de desenvolver a capacidade de relacioná-los. A prática constante com questões variadas amplia nossa visão matemática e torna a resolução mais estratégica e eficiente.
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Um forte abraço e bons estudos.
