Questão de geometria analítica sobre triângulo equilátero e gráfico de função do segundo grau.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UECE.
Enunciado da Questão
No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, usando o metro como unidade de comprimento, se os pontos M = (0, 3√3), P = (– w, 0) e Q = (w, 0), w > 0 são os vértices de um triângulo equilátero e pertencem ao gráfico da função real de variável real f(x) = Kx² + 3√3 , então é correto afirmar que o valor de K, em metros, é
| (A) – | √3 | . |
| 2 | ||
| (B) – | √3 | . |
| 3 | ||
| (C) – | √2 | . |
| 3 | ||
| (D) – | √2 | . |
| 2 |
Resolução Comentada
Vamos resolver essa questão de geometria analítica passo a passo. O enunciado nos informa que os pontos M, P e Q pertencem ao gráfico de f(x) = Kx² + 3√3 . Ainda não conhecemos a coordenada x dos pontos P e Q, mas já conhecemos todas as coordenadas do ponto M = (0, 3√3). Porém, com este ponto M, ainda não conseguimos encontrar quanto vale K. Vejamos:
f(x) = Kx² + 3√3
f(0) = K(0)² + 3√3 = 3√3
3√3 = 3√3
Neste caso, com o ponto M, não conseguimos obter o valor de K. Já com os pontos P e Q será possível obter esse valor. Utilizando as informações disponíveis no enunciado, é possível encontrar quanto vale w, e na sequência usá-lo para encontrar quanto vale K. Vamos fazer isso passo a passo esboçando o triângulo equilátero no plano cartesiano, isto vai nos permitir visualizar que sua altura mede 3√3.
O esboço acima nos permite visualizar que a altura deste triângulo equilátero mede 3√3. Sabemos que a altura do triângulo equilátero de lado L vale (√3/2) L.
3√3 = (√3/2) L
3 · 2 = L
L = 6
O lado do triângulo equilátero mede 6, portanto, w = 6/2 = 3. A título ilustrativo, vamos atualizar essa figura.
Finalmente, vamos obter K utilizando o ponto Q(3,0).
f(x) = Kx² + 3√3
f(3) = K(3)² + 3√3 = 0
9K + 3√3 = 0
9K = – 3√3
K = (–3√3)/9
K = (–√3)/3
Resposta Correta
| (B) – | √3 | . |
| 3 |
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Um forte abraço e bons estudos.
