Resolução da questão de geometria do ENEM 2025 (construção de túnel).
Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.
Enunciado da Questão
Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.
O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.
O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.
Considere 3 como aproximação para π e desconsidere as espessuras das muretas.
O projeto a ser aprovado é
(A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
(B) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 121,5 m².
(C) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 135 m².
(D) o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo 243 m².
(E) qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Aplicação Regular em 16 de novembro de 2025.
Resolução Comentada
Nesse problema, realizaremos o cálculo da área da seção transversal de túneis com formato de semicilindro reto.
Como calcular a área de um semicírculo (metade de um círculo)
A área de um semicírculo de raio R é dada pela fórmula:
Muita atenção: estamos calculando áreas de semicírculos e não áreas de círculos.
1: Cálculo da área da seção transversal (Projeto 1)
O projeto 1 possui duas áreas distintas que devem ser somadas:
Túnel para automóveis: calculamos a área do semicírculo maior com diâmetro de 12 m. O raio mede a metade do diâmetro, portanto este raio mede 12/2 = 6 m.
Durante os cálculos, vamos seguir o comando do enunciado de considerar 3 como aproximação para π.
A1 = (π × R²) / 2
A1 = (3 × 6²) / 2
A1 = (3 × 36) / 2
A1 = 3 × 18
A1 = 54 m²
Túnel para bicicletas: calculamos a área do semicírculo menor com diâmetro de 6 m. O raio mede a metade do diâmetro, portanto este raio mede 6/2 = 3 m.
A2 = (π × R²) / 2
A2 = (3 × 3²) / 2
A2 = (3 × 9) / 2
A2 = 27 / 2
A2 = 13,5 m²
A área da seção transversal do Projeto 1 (AP1) é a soma das duas áreas encontradas.
AP1 = A1 + A2
AP1 = 54 + 13,5
AP1 = 67,5 m²
2: Cálculo da área da seção transversal (Projeto 2)
Calculamos a área de um único semicírculo cujo raio mede 9 m.
AP2 = (π × R²) / 2
AP2 = (3 × 9²) / 2
AP2 = (3 × 81) / 2
AP2 = 3 × 40,5
AP2 = 121,5 m²
Escolha do Projeto
Para ser aprovado, o projeto deve apresentar a menor área de seção transversal.
- Área do Projeto 1 = 67,5 m²
- Área do Projeto 2 = 121,5 m²
Obs: Como 67,5 m² é menor que 121,5 m², o Projeto 1 é o aprovado.
Resposta Correta
(A) o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo 67,5 m².
Atenção ao calcular a área do semicírculo
Um erro comum é confundir diâmetro com raio ao aplicar a fórmula da área do círculo ou semicírculo. O raio é sempre a metade do diâmetro.
Próximo desafio: Geometria Plana no ENEM 2015
Para manter o ritmo, aproveite e resolva um problema clássico sobre área do círculo. É um problema interessante em um contexto de redes e telefonia celular.
Mais Questões de Matemática do ENEM
Aproveite para resolver mais questões. Confira a relação completa com questões resolvidas de matemática do ENEM.
Questões de Matemática do ENEMForte abraço e bons estudos.
