(UNICAMP 2026) Sobre dois polinômios p(x) e q(x) de coeficientes reais sabe-se que:

Resolução da questão sobre polinômios da UNICAMP 2026.

Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.

Enunciado da Questão

Sobre dois polinômios p(x) e q(x) de coeficientes reais sabe-se que:

• p(x) + q(x) tem grau igual a 3.
• p(x) · q(x) tem grau igual a 8.

É correto afirmar que o grau de p(x) − q(x) é igual a

a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.

Fonte: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2026, prova aplicada em 26/10/2025.

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📈 Resolução Comentada

Estamos diante de um problema de matemática muito interessante sobre polinômios. O enunciado afirma que o grau do produto entre os dois polinômios p(x) e q(x) de coeficientes reais vale 8, logo, nenhum deles é um polinômio nulo. Vamos considerar que 'm' e 'n' representam o grau de cada um desses polinômios.

Grau do produto

p(x) · q(x) tem grau igual a 8, portanto m + n = 8.

Neste momento, podemos pensar nos seguintes pares de graus (m,n): (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5) ou (4,4). Vamos ver um exemplo com o par (3,5).

p(x) = 6x³ e q(x) = 2x⁵ + 1

p(x) · q(x) = (6x³) · (2x⁵ + 1)

p(x) · q(x) = 12x⁸ + 6x³ (polinômio de grau 8)

Se um polinômio tem grau 3 e o outro tem grau 5, o produto entre eles tem grau 3 + 5 = 8. Mas será que a soma terá grau 3? Precisamos analisar isso, pois é necessário que as duas condições apresentadas no enunciado sejam verdadeiras. A seguir, vamos pensar um pouco mais sobre o grau da soma.

Grau da soma

Agora, é importante analisar dois cenários:

1️⃣ Se p(x) e q(x) possuem graus diferentes, então o grau da soma será igual ao maior desses graus. Vamos ver um exemplo:

p(x) = 6x³ e q(x) = 2x⁵ + 1

p(x) + q(x) = 2x⁵ + 6x³ + 1 (polinômio de grau 5)

Neste ponto, já é possível notar que o par (3,5) não serve. É verdade que p(x)·q(x) resulta em grau 8, mas a soma p(x)+q(x) tem grau 5, o que não atende ao comando do enunciado.

2️⃣ Se p(x) e q(x) possuem o mesmo grau, então o grau da soma será menor ou igual ao grau destes polinômios. Este é um caso particular que nos interessa. Como o enunciado informa que a soma dos polinômios tem grau igual a 3 (e o produto tem grau igual a 8), já é possível concluir que p(x) e q(x) possuem o mesmo grau, que vale 4. A seguir, vamos analisar mais alguns exemplos:

• p(x) = 3x⁴ e q(x) = 3x⁴ + x³ ➡️ p(x) + q(x) = 6x⁴ + x³ que é um polinômio de grau 4 .
• p(x) = 3x⁴ e q(x) = –3x⁴ + x³ ➡️ p(x) + q(x) = x³ que é um polinômio de grau 3 . Este é um caso que nos interessa.
• p(x) = 7x⁴ e q(x) = –7x⁴ + 5x² ➡️ p(x) + q(x) = 5x² que é um polinômio de grau 2 .
• p(x) = 2x⁴ e q(x) = –2x⁴ + 6x ➡️ p(x) + q(x) = 6x que é um polinômio de grau 1 [observamos que 6x é 6x¹ ] .
• p(x) = (1/2)x⁴ e q(x) = –(1/2)x⁴ + 4 ➡️ p(x) + q(x) = 4 que é um polinômio de grau 0 [observamos que 4 é 4x⁰ ].
• p(x) = 5x⁴ e q(x) = –5x⁴ ➡️ p(x) + q(x) = 0 que é o polinômio nulo.

Descobrindo os graus exatos desses dois polinômios

Podemos concluir que os graus de p(x) e q(x) não podem ser diferentes, por exemplo, não podemos ter m = 3 e n = 5, pois o grau da soma seria necessariamente o maior deles (que é 5). O problema diz que a soma tem grau 3 e o produto tem grau 8. Neste caso, isso só será possível se p(x) e q(x) tiverem grau 4, e os coeficientes dos termos de grau 4 se cancelarem durante a soma, de modo que o termo de grau 3 passe a ser o de maior grau.

Para ilustrar, vamos utilizar dois polinômios que atendem simultaneamente às duas condições apresentadas no enunciado:

• p(x) = 5x⁴ + x³
• q(x) = –5x⁴

O produto desses dois polinômios resulta em um polinômio de grau 8. Vamos conferir a seguir:

p(x) · q(x) = (5x⁴ + x³) · (–5x⁴)

p(x) · q(x) = –25x⁴·x⁴ – 5x⁴·x³

p(x) · q(x) = –25x⁸ – 5x⁷

A soma desses dois polinômios resulta em um polinômio de grau 3.  Novamente, vamos conferir:

p(x) + q(x) = 5x⁴ + x³ + ( –5x⁴ )

p(x) + q(x) = 5x⁴ + x³ –5x⁴

p(x) + q(x) = x³

No exemplo acima, multiplicamos dois polinômios de grau 4, e o resultado foi um polinômio de grau 8. Quando somamos os polinômios, o resultado foi um polinômio de grau 3. Como ambos possuem grau 4, mas apresentam coeficientes opostos para o termo x⁴ (isto é, 5 e –5, respectivamente), a soma resulta no cancelamento desse termo.

Conclusão: m = n = 4. Além disso, os coeficientes de x⁴ possuem o mesmo valor absoluto, porém com sinais contrários. Se um deles vale 'a', com 'a' diferente de 0, então o outro vale '-a'. Assim, será possível que o produto entre eles resulte em um polinômio de grau 8 e a soma, grau 3.

Determinando o grau da diferença p(x) – q(x)

🚨 Muita atenção agora: a diferença p(x) – q(x) não terá grau 3. Como os coeficientes de x⁴ são opostos (a e -a), a subtração resultará em um termo de valor 2a, mantendo o grau 4.

Seja 'a' o coeficiente líder de p(x) e '-a' o de q(x), com 'a' diferente de 0. Para analisar a diferença, vamos considerar o seguinte caso (onde 'b' também é diferente de zero):

• p(x) = a x⁴ + b x³
• q(x) = –a x⁴

Observamos que, enquanto os termos de maior grau se cancelam na soma, o mesmo não ocorre na subtração. Vejamos o desenvolvimento abaixo:

p(x) – q(x) = a x⁴ + b x³ – (–a x⁴)

p(x) – q(x) = a x⁴ + b x³ + a x⁴

p(x) – q(x) = 2a x⁴ + b x³

Como 'a' não é zero (pois o grau de p(x) é 4), o coeficiente do termo de maior grau '2a' permanece não nulo, o que mantém a existência do termo x⁴ no polinômio.

Portanto, o grau do polinômio p(x) – q(x) é 4.

✅ Resposta Correta

(B) 4

🚨 Atenção durante a soma e a diferença de polinômios

Vimos que na soma os termos se cancelaram [a + (–a) = a – a = 0]. Cuidado, pois na subtração teremos [ a – (–a) = a + a = 2a]. Reforçando que 'a' é diferente de 0, portanto este termo não será cancelado.

🚀 Solução prática

Depois de verificar vários exemplos, podemos pensar em uma solução mais objetiva para o problema. Ao analisar que o grau do produto dos polinômios é 8, podemos listar os pares possíveis de graus: (0,8), (1,7), (2,6), (3,5) e (4,4).

Como a soma dos polinômios tem grau 3, descartamos todos esses pares, exceto o par (4,4) que é o escolhido. 🏆

Isso nos indica que os dois polinômios possuem grau 4. Além disso, seus coeficientes líderes possuem o mesmo valor absoluto, mas com sinais contrários. Por exemplo, um polinômio tem um termo 5x⁴ e o outro tem um –5x⁴, e com o detalhe de que os termos de grau 3 não se anulam.

E se fizermos a subtração desses polinômios? Os coeficientes de x⁴ não vão se anular. Portanto, o grau do polinômio p(x) – q(x) será 4.

Tabela ilustrativa com essas possibilidades

Considerando que um desses polinômios tem grau 'm' e o outro tem grau 'n', vamos listar todas as possibilidades em que o produto desses polinômios vai resultar em um polinômio de grau 8:

Graus (m, n)	Grau do Produto	Grau da Soma
(0,8)	8	8
(1,7)	8	7
(2,6)	8	6
(3,5)	8	5
(4,4)	8	0, 1, 2, 3, 4 ou polinômio nulo

Por que apenas o par (4, 4) foi o único que nos interessou? Porque ele é o único caso que satisfaz simultaneamente as duas condições do enunciado: o produto de grau 8 e a possibilidade de uma soma de grau 3.

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Forte abraço e bons estudos.