(UNICAMP 2026) A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo x. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lado CD, são tais que PD = QC. O ângulo PMQ, representado por θ na figura, é tal que cos(θ) = 2/3.

Resolução da questão de geometria e trigonometria do Vestibular UNICAMP 2026.

Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.

Enunciado da Questão

A figura a seguir mostra um quadrado ABCD de lado medindo x. O ponto médio do lado AB está representado por M. Os pontos P e Q, pertencentes ao lado CD, são tais que PD = QC. O ângulo PMQ, representado por θ na figura, é tal que cos(θ) = 2/3.

A área do triângulo PMQ é

(A) \( \frac{ \sqrt{5} \, x^2}{5} \) .

(B) \( \frac{ \sqrt{3} \, x^2}{2} \) .

(C) \( \frac{ \sqrt{2} \, x^2}{2} \) .

(D) \( \frac{ \sqrt{3} \, x^2}{4} \) .

Fonte: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2026, prova aplicada em 26/10/2025.

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📈 Resolução Comentada

Para resolver este problema de geometria, vamos ilustrar na figura a medida PD = QC com um valor 'a'. Isso vai nos permitir descobrir que existem mais segmentos de reta de mesma medida.

Figura 1: triângulo isósceles PMQ

Na figura 1, o ponto N é o ponto médio do segmento DC. O enunciado informa que PD = QC, portanto PN = NQ, assim como PM = MQ.

É possível verificar isso de forma prática: podemos imaginar o quadrado ABCD impresso em uma folha de papel sobre uma mesa. O segmento MN, que liga os pontos médios dos lados opostos, funcionará como o nosso eixo de dobra. Mantendo os segmentos AD e MN fixos sobre a mesa, giramos o lado BC até que ele coincida exatamente com AD. Com essa dobra, os pontos A e B irão ocupar o mesmo lugar, assim como D e C.

Note também que, nesta nova posição, os pontos P e Q também se sobrepõem, isso porque PD = QC. A figura a seguir permite visualizar esse 'movimento' que foi feito no papel.

Figura 2: quadrado ABCD dobrado sobre o eixo MN

Assim, nós podemos visualizar de forma rápida que PN = NQ, assim como PM = MQ.

Também é possível comprovar isso fazendo contas, caso necessário, você pode conferir na caixa a seguir:

DP + PN = x/2 e também NQ + QC = x/2

DP + PN = NQ + QC

PN = NQ + QC - DP

QC - DP vale 0, pois eles são iguais.

PN = NQ

Assim, podemos atribuir o mesmo valor 'b' para os segmentos PN e NQ.

Agora, também podemos concluir que PM = MQ, pois ambos são hipotenusas de triângulos retângulos com os mesmos catetos, que medem b e x. Desta forma, esses dois segmentos também possuem a mesma medida, que foi ilustrada com 'c'.

Até aqui, é possível concluir que PMQ é um triângulo isósceles, pois possui pelo menos dois lados iguais.

Será que ele é equilátero? O triângulo equilátero possui três ângulos internos de 60°. Sabe-se que o cos 60° = 1/2, e o enunciado indica que o cos(θ) = 2/3.  Portanto, θ não é 60°, assim classificamos este triângulo como isósceles não equilátero.

Analisando o segmento MN, ele é altura, mediana e bissetriz relativa ao lado PQ. Precisamos encontrar a área deste triângulo em termos de x. Uma possível solução será calcular a área do triângulo retângulo MNQ, e multiplicar esta área por dois. Isto porque a área de MNQ é igual à área de MNP.

Área de PMQ = 2 · (Área de MNQ)

Área de PMQ = 2 · (b · x)/2

Área de PMQ = b · x     equação A

Agora, nosso objetivo é encontrar b em termos de x, vamos fazer isso usando a razão trigonométrica tangente (tg) no triângulo retângulo MNQ.

tg(QMN) = (cateto oposto)/(cateto adjacente)

O ângulo QMN vale θ/2, o cateto oposto a ele é o segmento NQ que mede 'b', e o cateto adjacente é MN que mede x.

tg (θ/2) = b / x

b = x · tg (θ/2)

Neste ponto da resolução, relembramos a fórmula da tangente do arco metade:

$$ tg \left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \, \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}}$$

Vamos utilizar o valor positivo, pois neste problema, θ/2 é um ângulo do primeiro quadrante, portanto tg(θ/2) é um valor positivo.

Na fórmula acima, vamos substituir o valor de cos θ por 2/3:

$$ tg \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - 2/3}{1 + 2/3}} $$ $$ tg \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1/3}{5/3}} $$ $$ tg \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

Com este valor, já podemos obter b:

$$ b = x \cdot tg \left(\frac{\theta}{2}\right) $$

$$ b = x \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} $$

$$ b = \frac{x}{\sqrt{5}} $$

Agora que temos b em termos de x, aplicamos na equação A:

$$ Área \, de \, PMQ = b \cdot x $$

$$ Área \, de \, PMQ = \frac{x}{\sqrt{5}} \cdot x $$

$$ Área \, de \, PMQ = \frac{x^2}{\sqrt{5}} $$

Já encontramos a letra (A) como resposta correta.  A seguir, vamos multiplicar o resultado encontrado pela fração \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \) .

$$ Área \, de \, PMQ = \frac{x^2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} $$

$$ Área \, de \, PMQ = \frac{\sqrt{5} \, x^2 }{5} $$

✅ Resposta Correta

(A) \( \frac{ \sqrt{5} \, x^2}{5} \) .

📚 Assuntos abordados nesta questão

• Área do triângulo
• Tangente do arco metade
• Triângulo isósceles
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo

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Forte abraço e bons estudos.