(UERJ 2026) Questão de Matemática sobre o círculo trigonométrico. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de trigonometria da UERJ.

(UNICAMP 2025)  As funções trigonométricas cos( x ) e sen( x ) são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo π/3, π/4 e π/6 – os valores dessas funções. É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação cos(x/2) = √ (1 + cos(x))/2 e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de sen(π/12) é a) √ 2 − √3   .               2       b) √ 2 + √3   .               2       c) √ 3 − √3   .               2       d) √ 3 + √3   .         ...

( UFPR 2025 )  Sabendo que sen x = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de cos (2x).  A) 2/25 B) 3/25 C) 7/25 D) 9/25 E) 16/25 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Usando a fórmula do cosseno do arco duplo:     cos (2x) = cos²x - sen²x Identidade trigonométrica fundamental:     sen²x + cos²x = 1 Na equação acima, isolar cos²x:     cos²x = 1 - sen²x Substituir n a fórmula do cosseno do arco duplo:     cos (2x) = 1 - sen²x - sen²x     cos (2x) = 1 - 2·sen²x Substituir sen x por 3/5      cos (2x) = 1 - 2·(3/5)²     cos (2x) = 1 - 2·(9/25)     cos (2x) = (25/25) - (18/25)     cos (2x) = 7/25 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

(UECE 2024.2)  Os valores de x entre 0 e 2π que satisfazem a igualdade sen2x = senx são a) π/3, 2π/3, 4π/3. b) π/4, 2π/3, 4π/5. c) π/3, π, 5π/3. d) π/5, 2π/3, 4π/7. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024. sen2x = senx sen2x - senx = 0 Para resolver essa equação trigonométrica, vamos substituir sen2x por 2·senx·cosx 2·senx·cosx - senx = 0 Colocar senx em evidência senx(2cosx - 1) = 0 senx = 0 ou 2cosx - 1 = 0 Agora, vamos trabalhar nessas equações separadamente: senx = 0 Entre 0 e 2π, o  senx vale zero quando x =  π 2cosx - 1 = 0 2cosx = 1 cosx = 1/2 Entre 0 e 2π, o cosx vale 1/2 em duas ocasiões, são elas: > no primeiro quadrante, quando x = 60°, cujo valor em radianos é  x = π/3 > no quarto quadrante, quando x = 2π - π/3 = 5π/3 Podemos concluir que  os valores de x entre 0 e 2π que satis...

(EEAR CFS 1/2025)  Se sen 20° = x, então tg 40° = ___________. a)  2√ 1 - x²           1 - 2x b)  2x√ 1 - x²          1 - 2x c)  2√ 1 - x²          1 - 2x² d)  2x√ 1 - x²          1 - 2x² Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025 .  Prova aplicada em 14/07/2024. Sabemos que tg40° = sen40°/cos40° Fórmulas de arco duplo sen2θ = 2senθcosθ cos2θ = cos²θ - sen²θ sen 20° = x Obs: 20° é um ângulo do primeiro quadrante, logo, seu seno é positivo, neste caso o valor de x é maior que 0 e menor que 1. Neste quadrante, o cosseno de 20° também é positivo. Vamos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado. sen²20° = x² Para obter cos 20°, vamos usar a relação fun...

(EEAR CFS 1/2025)  Se x é um ângulo agudo tal que tg x = 4/3, então o valor de sen x + cos x é _____. a) 3/4 b) 7/5 c) 9/7 d) 11/25 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025 .  Prova aplicada em 14/07/2024. Para obter os valores de sen x e cos x, vamos fazer um esboço de x e tg x no ciclo trigonométrico. O enunciado informa que x é um ângulo agudo, ou seja, maior do que 0° e menor do que 90°.  Portanto, vamos escrever o ângulo x no primeiro quadrante. Podemos notar que os triângulos retângulos OAB e OCD são semelhantes.  A seguir, vamos criar um outro triângulo retângulo semelhante a estes, que é o triângulo OEF.  Este triângulo será construído multiplicando por 3 tanto OC quanto CD, note que assim OEF é um triangulo retângulo com catetos que medem 3 e 4 e a hipotenusa OF mede 5. Ag...

( UFPR 2024 )  Sabendo que sen (2x) = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de  [ sen(x) + cos(x) ]².  a) 0,8 b) 1,0 c) 1,2 d) 1,4 e) 1,6 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Vamos trabalhar primeiro no seno de 2x. sen (2x) = 3/5 2 . sen(x) . cos(x) = 3/5 = 0,6 Agora, vamos calcular a expressão fornecida: [ sen(x) + cos(x) ]² sen²(x) + 2 sen(x) cos(x) + cos²(x) sen²(x) + cos²(x) + 2 sen(x) cos(x)   1 + 0,6 1,6 Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

(UECE 2023.2)  Na trigonometria circular usual, considere os valores dos arcos x para os quais existem e estão bem definidas a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante. Em relação à equação trigonométrica tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x, é correto afirmar que A) possui uma única solução real. B) possui exatamente duas soluções reais. C) possui infinitas soluções reais. D) não possui solução real. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Analisando esta equação, podemos perceber o seguinte: tg²x + cotg²x = sec²x + cossec²x sen²x  +  cos²x   =     1     +     1    cos²x    sen²x      cos²x   sen²x Repare que não podemos ter senx = 0 e nem o cosx = 0, pois teremos uma divisão por zero.  Vamos guardar essa informação assim por ...

(CEDERJ 2023.2)   Sabe-se que para todo número real x,  Sendo assim, o valor de sen(π/12) é igual a: Solução:  questão de matemática do Vestibular CEDERJ 2023.2,  prova aplicada no dia 18/06/2023. sen²x = [1 - cos (2x)] / 2 sen x = ± √ [1 - cos (2x)]/2 Nosso objetivo é calcular quanto vale o  sen(π/12) Substituindo π por 180°, temos  sen(180º/12) sen(15°) Como 15° é um ângulo do 1º quadrante, então o  sen (15°)  é positivo. Portanto, ficamos apenas com a solução positiva. sen 15° =  √ [1 - cos (2. 15°)]/2 sen 15° =  √ [1 - cos (30°)]/2 Aplicando cos 30° = (√3)/2 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de  questões de matemática do CEDERJ. Um forte abraço e bons estudos.

(EEAR CFS 1/2024)  Se cos x = − 0,8, então o valor de (1 − cos 2x) é igual a _______.  a) 0,36 b) 0,72 c) 0,84 d) 0,96 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. Nesta questão, vamos utilizar as identidades trigonométricas sen²x + cos²x = 1    cos 2x = cos²x - sen²x Nosso objetivo é encontrar  1 − cos 2x 1 - (cos²x - sen²x) 1 - cos²x + sen²x O enunciado nos informa que cos x = - 0,8 , vamos elevar este valor ao quadrado. cos²x = (-0,8)² cos²x = 0,64 Agora, podemos obter sen²x  sen²x + cos²x = 1  sen²x + 0,64 = 1  sen²x  = 1 - 0,64 sen²x = 0,36 Finalmente, basta aplicar estes valores na expressão 1 - cos²x + sen²x 1 - 0,64 + 0,36 0,72 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR .  Um forte abraço e bons estudos...

(UERJ 2023)  Observe o ângulo central α do círculo trigonométrico a seguir: Admitindo que 0 ≤  α < π/2 e cos α = 4/5, o valor de sen (2π - α) é igual a: a) 3/5  b) 1/2  c) -3/5  d) -1/2 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2023,  prova do dia 04/12/2022. Note que α é um ângulo do primeiro quadrante, logo seu seno é positivo. Já o ângulo (2π - α) é do quarto quadrante, logo seu seno é negativo. ** Até aqui, só com estas informações, já podemos eliminar as alternativas (a) e (b). Da disciplina redução ao primeiro quadrante no ciclo trigonométrico, sabemos que sen (2π - α) = - sen(α) Então, o que vamos fazer é primeiro obter o sen(α), depois multiplicaremos o valor encontrado por -1 e teremos finalmente o sen (2π - α). O enunciado nos informa que cos (α) = 4/5. Da disciplina identidades trigonométricas, sabemos que sen²(α) + cos² (α) = 1 Vamos aplicar o valor de cos (α) = 4/5 nesta equação. sen²(α) + (4/5)² = 1 sen²(α) + 16/25 =...

( EsPCEx 2022 )  Seja M (x) a matriz quadrada de ordem três em função de x ,  Considere f a função definida pela expressão f (x) = det M (x) , em que det M (x) é o determinante da matriz M (x) .  É correto afirmar que a equação f (x) = – 1 [A] não possui solução real. [B] possui uma única solução real. [C] possui apenas duas soluções reais distintas. [D] possui exatamente 2022 soluções reais distintas. [E] possui infinitas soluções reais distintas.  Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Uma questão bem rica sobre matrizes, abordando outras disciplinas da matemática como funções exponenciais e identidades trigonométricas.  Em primeiro lugar, vamos obter o determinante da matriz M(x) usando a Regra de Sarrus . Note que os produtos nas linhas em vermelho são iguais a zero, já nas linhas em azul (que são apenas duas) os resultados são dif...

(EEAR CFS 1/2023) Do arco x sabe-se que sen x . cos x = -1/4. Então, o valor de tg x + cotg x é _____ e a extremidade desse arco x pode estar no _____ quadrante.  a) -4; 1º b) -4; 2º c) -2; 3º d) -2; 4º Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão muito interessante de trigonometria, sabemos que  -1 ≤ sen x ≤ 1 -1 ≤ cos x ≤ 1 Os valores de seno e cosseno de x estão limitados entre -1 e 1, ou seja, eles podem ser tanto positivos quanto negativos.  Além disso, o enunciado informa que  sen x . cos x = -1/4   Note que o produto entre o seno e o cosseno de x dá um número negativo, então nem o sen x, nem o cos x valem 0.  Além disso, obrigatoriamente os sinais de sen x e cos x têm que ser diferentes, por exemplo, se o sen x é negativo, então o cos x terá que ser positivo, pois um produto (negativo) x (positivo) ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Sabe-se que (1-cos²(x))(cotg²(x)+1) = A para x diferente de kπ, com k ∈ Z, e que  sec²(x) - 1 = B, quando sen(x) =  √2    tg² (x) +1                                                  2 Assim, assinale a opção que apresenta o valor de B A . a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) 2 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Para resolvermos essa questão, utilizaremos algumas das  identidades trignométricas . Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1 sen²(x) = 1 - cos²(x) cotg(x) = 1/tg(x) = 1 / (sen(x)/cos(x)) = cos(x)/sen(x) Se dividirmos a expressão (sen²(x) + cos²(x) = 1) por sen²(x) teremos o seguinte resultado: sen²(x)/sen²(x) + cos²(x)/sen²(x) = 1/sen²(x) 1 + cotg²(x) = 1/sen²(x) Agora, vamos ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Sendo x real tal que senx = (m-1)/2 e cosx = (m+1)/2.  Determine o conjunto dos valores de "m" e assinale a opção correta. a) {-√2, +√2} b) {-1, +1} c) {-2, +2} d) ℝ e) Ø Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019,  prova do dia 14/04/2019. Para resolvermos essa questão, utilizaremos a seguinte identidade trigonométrica: sen²x + cos²x = 1 [(m-1)/2]² + [(m+1)/2]² = 1 [ (m² -2m +1) /4 ]  + [ (m² +2m + 1) / 4 ] =  4/4 (m² -2m +1) + (m² +2m + 1) = 4 2m² + 2 = 4 2m² = 2 m² = 1 m = ±√1 m = ± 1 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros.   Um forte abraço e bons estudos.

(UERJ 2017)  No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r. A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica: O valor da tangente de θ é igual a:  (A) 0,65 (B) 0,60 (C) 0,55 (D) 0,50 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2017,  prova do dia 12/06/2016 (1° Exame de Qualificação). Vamos ilustrar, na primeira imagem do enunciado, os ângulos a e b , de modo que  θ = ( a - b ) .  Fazendo isso, vamos poder utilizar a identidade trigonométrica fornecida no enunciado. O objetivo da questão é encontrar o valor da tangente de θ que é igual a tangente de (a-b). Vamos aplicar a identidade trigonométrica: tg (a-b) = [tg(a) - tg(b)] / [1 + tg(a) x tg(b)] tg (a-b) = [1 - 1/4] / [1 + 1 x 1/4] tg (a-b) = [3/4] / [1 + 1/4] tg (a-b) = [3/4] / [5/4] tg (a-b) = [3/4] x [4/5] tg (a-b) = tg (θ) =  3/5 = 0,60 A...

(UFPR 2022)  Considere a seguinte matriz: Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de θ ∈   [0, π] que satisfazem det A = -13. a) π/4 b) 2π/3 c) 3π/4 d) 2π e) 4π Solução:  questão de matemática  do Vestibular UFPR 2022,  prova do dia 13/02/2022. Uma questão bem rica sobre determinantes e identidades trigonométricas.  Em primeiro lugar, vamos calcular o det A e igualar a -13.  Para encontrar este determinante, vamos usar a regra de Sarrus.  - ( -7senθcosθ + 13 sen²θ + 7 cos²θ) + (7senθcosθ + 7sen²θ - 13 cos²θ)  7senθcosθ - 13 sen²θ - 7 cos²θ + 7senθcosθ + 7sen²θ - 13 cos²θ Agora, vamos re-organizar e simplificar  7senθcosθ + 7senθcosθ - 13 sen²θ - 13 cos²θ - 7 cos²θ  + 7sen²θ   14senθcosθ - 13 (sen²θ + cos²θ) - 7 (cos²θ  - sen²θ) Sabemos que sen²θ + cos²θ = 1  14senθcosθ - 13 (1) - 7 (cos²θ  - sen²θ)  7 . 2senθcosθ - 13 - 7 (cos²θ  - sen²θ) Sa...

(FAMEMA 2022) Sendo x um número real sabe-se que sin x  + cos x  = 0,8. O valor de sin³ x + cos³ x é: [Obs: sin x  é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x .] (A) 0,848. (B) 0,866. (C) 0,896. (D) 0,912. (E) 0,944. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021. Para resolver essa questão de identidades trigonométricas, vamos utilizar produtos notáveis: a³ + b³ = (a+b) (a² -ab +b²) sin³x + cos³x = (sinx + cosx) (sin²x - sinx cosx + cos²x) Sabemos que sin²x+ cos²x = 1 sin³x + cos³x = 0,8 (1 - sinx cosx ) Podemos obter o valor de sinx cosx usando o produto notável  (a+b)² = a² + 2ab + b² (sin x  + cos x)²  = (0,8)² sin²x  + 2 sinx cosx +  cos²x  = 0,64 1  + 2 sinx cosx = 0,64 2 sinx cosx = 0,64 - 1 2 sinx cosx = -0,36 sinx cosx = -0,18 Continuando sin³x + cos³x = 0,8 [1 - (-0,18)] sin³x + cos³x = 0,8 (1,18...

(UNICAMP 2022) No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo 𝛼 indicado na figura abaixo mede 67,5°. A largura do canal, medida em metros e indicada por 𝐿 na figura anterior, é: Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021. Uma questão muito interessante e contextualizada de matemática onde utilizaremos muito a disciplina trigonometria. Para resolver este problema, vamos ilustrar alguns pontos importantes: Repare que os ângulos ACB, ABE e BED medem 90°, o ângulo ABC vale (90°- α) e por conseguinte o ângulo CBE vale α. Nosso objetivo é encontrar L, podemos fazer isso por meio do triângulo retângulo BED.  Temos que: cos α = BE / BD cos α = L ...

(EEAR CFS 1/2021) Se sen (a+b) = -1/2 e cos (a-b) = - (√3)/2, então o valor de  (sen a + cos a ) (sen b + cos b) é a) (√3)/4 b) - (√3)/4 c) (1 + √3)/2 d) - (1 + √3)/2 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2021. Prova aplicada no dia 13/09/2020. Nesta questão usaremos o seno da soma de dois arcos e o cosseno da diferença de dois arcos: sen (a+b) = sen a . cos b + sen b . cos a cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b Agora, vamos trabalhar na expressão do enunciado: (sen a + cos a ) (sen b + cos b) sen a . sen b + sen a . cos b + cos a . sen b + cos a . cos b Vamos colorir a expressão acima, perceba o seguinte: sen a . sen b + sen a . cos b + cos a . sen b + cos a . cos b Re-organizando as posições sen a . cos b + cos a . sen b  +  sen a . sen b  +  cos a . cos b sen (a+b)                              ...