(ENEM 2025 Reaplicação) Paulo esqueceu a senha de acesso à sua conta bancária. Ele se lembra apenas de que sua senha é uma das possíveis permutações da palavra DETETIVE que se iniciam pela letra D.

Resolução da questão do ENEM 2025: probabilidade de Paulo acessar sua conta bancária.

Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.

Enunciado da Questão

Paulo esqueceu a senha de acesso à sua conta bancária. Ele se lembra apenas de que sua senha é uma das possíveis permutações da palavra DETETIVE que se iniciam pela letra D. O sistema do banco permite que ele faça até quatro tentativas antes de bloquear o acesso, e Paulo não digitará uma mesma combinação de letras duas vezes.

A probabilidade de Paulo acessar sua conta, sem bloqueá-la, é

(A) 1/105
(B) 1/420
(C) 1/840
(D) 1/1260
(E) 1/10080

Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Reaplicação em 17 de dezembro de 2025.

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📈 Resolução Comentada

Primeiramente, vamos calcular a quantidade de anagramas da palavra DETETIVE, mantendo a letra D fixa na primeira posição.

Contagem da quantidade n de caracteres restantes após fixarmos o D:

E, T, E, T, I, V, E → n = 7 caracteres.

Na sequência, contamos os caracteres que se repetem. Podemos notar que E e T aparecem mais de uma vez:

• E aparece 3 vezes: ETETIVE (a = 3);
• T aparece 2 vezes: ETETIVE (b = 2).

Finalmente, efetuamos o cálculo usando a fórmula da permutação com repetição para este caso:

P_n ^(a,b) = n! / (a! ⋅ b!)

Substituindo os valores e resolvendo:

P₇ ^(3,2) = 7! / (3! ⋅ 2!)

P₇ ^(3,2) = 7⋅6⋅5⋅4⋅3! / (3! ⋅ 2)

P₇ ^(3,2) = 7⋅6⋅5⋅2

P₇ ^(3,2) = 420

Conclusão: Paulo terá 420 senhas diferentes para testar. Para calcular a probabilidade dele acessar sua conta, utilizaremos o conceito de evento complementar.

Sabemos que a soma da probabilidade de ele acessar (PA) com a probabilidade de ele não acessar (PNA) é igual a 1, isto é: PA + PNA = 1.

Para encontrar o resultado, isolamos a probabilidade de acessar.

PA = 1 – PNA

A probabilidade de Paulo não acessar a conta ocorre quando ele erra a primeira tentativa, erra a segunda, erra a terceira e erra a quarta. Como ele não repete as senhas, essa probabilidade é:

PNA = (419/420) (418/419) (417/418) (416/417) = 416/420 = 104/105

Já a probabilidade de acessar é

PA = 1 – 104/105

PA = 1/105

✅ Resposta Correta

(A) 1/105

Curiosidade: podemos calcular a probabilidade de sucesso somando as chances individuais de acertar em cada uma das quatro tentativas possíveis:

Probabilidade de acessar na primeira tentativa: 1/420

Probabilidade de acessar na segunda tentativa (errar a primeira e acertar a segunda): (419/420) (1/419) = 1/420

Probabilidade de acessar na terceira tentativa (errar a primeira, errar a segunda e acertar a terceira): (419/420) (418/419) (1/418) = 1/420

Probabilidade de acessar na quarta tentativa (errar a primeira, errar a segunda, errar a terceira e acertar a quarta): (419/420) (418/419) (417/418) (1/417) = 1/420

Somando as quatro probabilidades acima, obtemos:

(1/420) + (1/420) + (1/420) + (1/420) = 4/420 = 1/105

📚 Assuntos abordados nesta questão

• Análise combinatória
• Anagramas
• Permutação com Repetição
• Probabilidade

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Forte abraço e bons estudos.