(ENEM 2025) Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

Resolução da questão sobre logaritmos e função quadrática do ENEM 2025.

Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.

Enunciado da Questão

Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:

P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]

O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento.

O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.

O maior valor a ser escolhido para K é

(A) 10^0,5

(B) 10⁸

(C) (10^2,5)/84

(D) (10^2,5)/99

(E) 25 × 10⁻²

Fonte: questão de matemática do ENEM 2025 — 2º Dia, Caderno 7 (Azul), Aplicação Regular em 16 de novembro de 2025.

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📈 Resolução Comentada

Estamos diante de um problema bem interessante sobre função quadrática em sua forma fatorada, análise de pontos de máximo e mínimo de uma função e a resolução de equações logarítmicas. Vamos resolver esse problema passo a passo com bastante cuidado, analisando primeiramente os requisitos do enunciado.

Requisitos do enunciado para a escolha da máquina

A máquina vai funcionar por um período contínuo de 10 horas.

O empresário quer o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante, isto é, “a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento”.

Observamos que, no intervalo 0 ≤ t ≤ 10, a pressão máxima deve ser igual a 10 atm.

Nesse intervalo, em qual instante t a função P atingirá seu valor máximo? Será em t = 10? Ou em algum tempo t anterior a este?

Atenção: o valor de P será máximo, quando o valor do logaritmando for máximo. A seguir, veremos que isso ocorre em t = 9.

Analisando a lei de formação da função P

Vamos analisar com cuidado a lei de formação da função P, com atenção especial à expressão quadrática (polinômio de grau 2) no logaritmando:

−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)

Quando estudamos as funções quadráticas na forma fatorada, ao analisar essa expressão, automaticamente visualizamos as suas raízes t₁ = −1 e t₂ = 19. Sabemos que o eixo de simetria está na média dessas raízes, ou seja, em (−1 + 19)/2 = 9. Então, em t = 9 há um ponto de máximo ou de mínimo.

O coeficiente ‘a’ é negativo, pois a = −K (sendo K positivo, então 'a' é negativo). Portanto, o gráfico dessa quadrática é uma parábola com concavidade voltada para baixo (formato de ∩), com um ponto de máximo quando t = 9.

No intervalo −1 < t < 19, essa quadrática retorna valores positivos. Como a máquina vai funcionar durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 10, os logaritmandos são todos positivos, o que satisfaz as condições de existência dos logaritmos durante todo o intervalo operacional.

Ao calcular o logaritmo na base 10 de cada um desses valores, o maior deles será verificado quando o logaritmando for máximo, isto é, em t = 9. Acrescenta-se o fato de que todos são multiplicados por 4, o que mantém o valor máximo de P exatamente em t = 9.

Assim, quando o usuário começa a utilizar essa máquina e observa as pressões registradas, perceberá o seguinte:

• A pressão P(t) é crescente no intervalo 0 ≤ t ≤ 9;
• Atinge seu valor máximo em t = 9;
• Decresce no intervalo 9 ≤ t ≤ 10.

Conclusão: no intervalo 0 ≤ t ≤ 10, o valor máximo da função P será alcançado em t = 9.

Cálculo para descobrir o valor de K

Agora, aplicamos t = 9 e P = 10 na função P, e resolvemos para encontrar K.

P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]

10 = 4 ⋅ log[−K ⋅ (9 + 1) ⋅ (9 − 19)]

10/4 =  log[−K ⋅ 10 ⋅ (− 10)]

2,5 = log(10² K)

2,5 = log(10²) + log(K)

2,5 = 2 + log(K)

2,5 − 2 = log(K)

0,5 = log(K)

K = 10^0,5

✅ Resposta Correta

(A) 10^0,5

Gráfico da Função P

Definido que K = 10^0,5, a expressão da pressão será:

P = 4 ⋅ log[−10^0,5 ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]

O que vamos fazer agora é elaborar o gráfico de P em função de t, identificando o ponto de pressão máxima de 10 atm exatamente em t = 9 horas.

Figura 1: Gráfico de P(t)

O gráfico acima foi elaborado no Desmos com a seguinte função:

f(x) = 4 log(−10^0.5 (x+1)(x−19) )

Para limitar o intervalo, adicione  {0 <= x <= 10} logo após a expressão acima.

🚨 Atenção durante a interpretação

Um erro comum é utilizar P = 10 e t = 10 para descobrir K. Isso nos levaria a K = (10^2,5)/99. O problema dessa escolha é que a pressão vai superar o limite de 10 atm no intervalo 8 < t < 10, contrariando assim a recomendação do fabricante.

📚 Assuntos abordados nesta questão

• Função Quadrática (forma fatorada)
• Vértice da Parábola (problemas de máximo e mínimo)
• Gráfico da função quadrática
• Equações logarítmicas

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Forte abraço e bons estudos.