(EPCAR 2021) Testes realizados em um jogo de arco e flecha provaram
que a probabilidade de acerto em uma das quatro áreas A1, A2 , A3 ou A4 de um alvo como o da figura a seguir é a razão entre a área da região e o quadrado da distância entre
o jogador e o alvo, nessa ordem.
Sabe-se que A1 é a área de um círculo de raio 1m e A2 , A3 e A4 são áreas de coroas circulares concêntricas com A1, com as medidas indicadas na figura a seguir, em
metros.
A probabilidade de um jogador que está a 16 m de distância
do alvo acertar a área
a) A3 é a metade da probabilidade de acertar a área A4.
b) A2 é o dobro da probabilidade de acertar a área A1.
c) A4 é sete vezes a probabilidade de acertar a área A1.
d) A3 é o triplo da probabilidade de acertar a área A2.
Solução: questão muito interessante que envolve probabilidade ("aparentemente") e geometria. Porém, vamos perceber ao longo da resolução que ela é muito mais geometria do que probabilidade. O problema nos informa que a probabilidade pode ser calculada em função da área e da distância, respeitando a fórmula a seguir:
P = A / d²
"Uma interpretação para essa função é:
>> quanto menor a distância (no denominador) e maior a área (no numerador), então maior será a probabilidade de acertar aquele alvo"; e do mesmo modo,
>> quanto maior a distância (no denominador) e menor a área (no numerador), então menor será a probabilidade de acertar aquele alvo"
O problema nos informa que a distância do atirador é de 16 metros e está fixa. O objetivo da questão é obter uma relação entre as diferentes probabilidades de acertos nas diferentes áreas. Sendo assim, o componente do denominador para nós será desprezível, ou seja, basta calcularmos as áreas das diferentes regiões e fazermos uma comparação.
Vamos calcular as áreas (sendo desnecessário também informar a unidade m² para simplificar o trabalho).
A1 = π . R² = π . 1² = π
A2 = π . (R² - r²) = π . (2²-1²) = π . 3
A3 = π . (R² - r²) = π . (3²-2²) = π . (9-4) = π . 5
A4 = π . (R² - r²) = π . (4²-3²) = π . (16-9) = π . 7
Basta agora julgar as alternativas e identificaremos que a letra c) é a única correta, pois a probabilidade de acertar A4 é sete vezes maior que acertar A1. Alternativa correta é a letra C.
Curiosidade: como mencionado na resolução, não é necessário usar o denominador, pois a distância neste problema está fixa em 16 metros. Porém, a título de ilustração, vamos realizar os cálculos:
Sendo P(A4;16) a probabilidade de acertar A4 a uma distância de 16 metros, temos que:
P(A4;16) = 7π / 16² = 7π /256
Já P(A1;16) = π /256
Veja que P(A4;16) é 7 vezes P(A1;16).
Aproveite e confira:
>> Exercício do Colégio Naval sobre cálculo da área coroa circular
>> Lista de exercícios sobre probabilidade.
Um forte abraço e bons estudos.
