(FUVEST 2018) Sejam f: R → R e g: R+ → R definidas por

(FUVEST 2018) Sejam f: R → R e g: R⁺ → R definidas por

f(x) = (1/2).5^x  e g(x) = log₁₀ x , respectivamente.   

O gráfico da função composta gof é:

Solução: questão interessante sobre funções onde abordaremos conceitos de função exponencial, função logarítmica, função composta e até função do primeiro grau (equação da reta).

Organizando  f(x) = (1/2).5^x  = 2^-1.5^x

Agora, vamos calcular g(f(x))

g(f(x)) = log₁₀ (2^-1. 5^x)

g(f(x)) = log₁₀ (2^-1) + log₁₀ (5^x)

g(f(x)) = - log₁₀ 2 + x . log₁₀ 5

Repare que nossa g(f(x)) é uma equação de reta do tipo y = a.x+b; sendo:

a = log₁₀ 5

b = - log₁₀ 2

Um detalhe é que log₁₀ 2 vale aproximadamente 0,3.

Sabemos também que log₁₀ 5 = log₁₀ 10/2 = log₁₀ 10 - log₁₀ 2 ≅ 1-0,3 ≅ 0,7.

g(f(x)) ≅ 0,7 x - 0,3  [equação aproximada de g(f(x))]

Repare que "a" é um valor positivo, logo, a reta deve ser crescente. Além disso, b é um valor negativo, logo, quando x=0, a reta cortará o eixo y na altura de aproximadamente -0,3.  A única opção de resposta que satisfaz essas condições é a alternativa A.

Nesta questão, não chega a ser necessário saber os valores exatos de log₁₀ 2 e  log₁₀ 5, apenas o indicativo de que estes logaritmos representam valores positivos.  Avaliamos essa questão da FUVEST 2018 como sendo uma questão muito rica, que envolveu vários conceitos de diferentes tipos de funções, principalmente, a função logarítmica.

Aproveite e continue praticando com: 

>> uma Lista de Exercícios Resolvidos de Função Composta.

>> uma Lista de Exercícios Resolvidos de Equação Exponencial.

>> uma Lista de Exercícios Resolvidos sobre Logaritmos.

Um forte abraço e bons estudos.