(UNICAMP 2019) Considere um paralelepípedo retângulo, cujas arestas têm comprimento 6 𝑐𝑚, 8 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚, e um triângulo cujos vértices são os centros (intersecção das diagonais) de três faces de dimensões distintas, como ilustra a figura a seguir. O perímetro 𝑃 desse triângulo é tal que



Solução:  questão muito interessante de geometria plana, mas que envolve a leitura e identificação de pontos estratégicos em um sólido em três dimensões.  Vamos marcar alguns pontos estratégicos na figura para facilitar a compreensão da solução.

Para encontrarmos l1, l2 e l3 aplicaremos 3 vezes o Teorema de Pitágoras.

Cálculo de l1

l1² = 3² + 4²
l1 = 5


Cálculo de l2
l2² = 5² + 3²
l2² = 25 + 9 
l2 = √34
Atente que √25 = 5 e √36 = 6, logo √34 dá um valor entre 5 e 6, mais perto de 6 do que de 5.
Curiosidade: valor mais preciso, calculado no Excel é 5,830951895.


Cálculo de l3


l3² = 5² + 4²
l3² = 25 + 16
l3² = 41
l3 = √41
Atente que √36 = 6 e √49 = 7, logo √41 dá um valor entre 6 e 7, mais perto de 6 do que de 7.
Curiosidade: valor mais preciso, calculado no Excel é 6,403124237.
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Finalmente, para obter o perímetro do triângulo basta somar l1+l2+l3

5 + √34 + √41 ≅ 5 + ( 5  + algo entre 0 e1) + (6  + algo entre 0 e 1) ≅ 
5 + 5 + 6 + (algo entre 0 e 2)  ≅ 16 + (algo entre 0 e 2)

Logo 16 < P < 18 [Alternativa correta é a letra C]

Caso você tenha tentado extrair valores um pouco mais precisos para √34 e √41, por exemplo, com pelo menos uma casa decimal após a vírgula, chegaríamos na seguinte aproximação para P.

5 + √34 + √41 ≅ 5 + 5,8+ 6,4 ≅ 17,2  [ P é um valor entre 16 e 18]

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Plana - Resolvidos e Comentados.

Um forte abraço e bons estudos.