(ENEM 2020) Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.



A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível. 

A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a 

A 12. B 14. C 16. D 18. E 20.

Solução:  questão interessante do ENEM 2020 sobre geometria plana, espacial e números proporcionais.

O troféu original tem medidas 50 cm x 50 cm x 100 cm, ou seja, sua base é quadrada. Também podemos dizer que ele proporcionalmente tem medidas X, X e 2X.  Então, qualquer miniatura deste troféu terá também base quadrada e essas mesmas proporções entre suas medidas.

Iremos criar a maior miniatura possível cuja base possa ser inserida numa caixa de vidro que tem área da base com as seguintes seguintes medidas: 8 cm x 10 cm.  Além disso, a base da miniatura do troféu deverá estar distanciada de 1 cm (no mínimo) das paredes laterais da caixa de vidro. Como queremos a maior miniatura possível, então vamos deixar a distância entre as bases exatamente no valor mínimo de 1 cm. Assim, nos sobra uma área de 6 cm x 8 cm para a miniatura do troféu. Veja a seguir uma representação da base máxima possível para a miniatura do troféu.





Como a base do troféu original tem o formato de um quadrado, então o quadrado máximo que podemos inserir no espaço 6 cm x 8 cm é o quadrado de lado igual a 6 cm.

Logo, as dimensões da miniatura do troféu serão: 6 cm, 6 cm e 12 cm (respeitando a proporção X, X, 2X).  A altura da miniatura do troféu vale 12 cm, ainda temos que somar 2 cm para que haja uma distância entre o topo da esfera e a tampa da caixa de vidro.  Finalmente, a medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a 12 + 2 = 14 cm.  Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios de geometria espacial.

Um forte abraço e bons estudos.