(ENEM PPL 2019) Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(ENEM PPL 2019) Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada. 

R1: y = x
R2: y = −3x + 5
R3: y = −3x + 10
R4: y = (1/3) x + 5/3
R5: y = (1/3) x + 1/10

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera. A relação escolhida pelo instalador foi a 

A R1. B R2. C R3. D R4. E R5.

Solução:  questão muito interessante de geometria analítica do ENEM PPL 2019 que aborda o conceito da equação de reta mediatriz.  Nosso objetivo nesta questão, será encontrar exatamente a equação da reta mediatriz dos pontos C1 (3,1) e C2 (2,4). O interessante é que a questão requer isso, porém sem citar o termo "equação de reta mediatriz" em seu enunciado.

Podemos obter essa equação de duas maneiras clássicas, entretanto, na resolução desta questão, vamos utilizar apenas uma delas.  Recomendo que depois desta questão, você confira a questão da UNICAMP 2021 sobre equação da reta mediatriz, onde nela, a resolução é feita de duas maneiras diferentes. Ilustrando nosso problema e a equação da reta mediatriz no plano cartesiano, temos:

A distância de qualquer ponto P(x,y) pertencente a equação de reta mediatriz  até C1 (3,1) será igual a distância deste mesmo P(xy) até C2 (2,4).

d (x,y) → (3,1) = d (x,y) → (2,4) 

√ [ (x-3)² + (y-1)² ] = √ [ (x-2)² + (y-4)² ] 

x² - 6x + 9 + y² - 2y + 1 = x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16

-6x - 2y + 10 = -4x - 8y + 20

-2y + 8y  = -4x + 6x + 20 - 10

6y = 2x + 10

y = (2/6)x + 10/6

y = (1/3)x + 5/3 

Equação de R4.

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos.

Um forte abraço e bons estudos.