(ENEM PPL 2019) Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:
(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.
(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.
R1: y = x
R2: y = −3x + 5
R3: y = −3x + 10
R4: y = (1/3) x + 5/3
R5: y = (1/3) x + 1/10
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.
A relação escolhida pelo instalador foi a
(A) R1. (B) R2. (C) R3. (D) R4. (E) R5.
Solução: uma questão muito interessante de geometria analítica do ENEM PPL 2019. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta mediatriz do segmento de reta C1C2 . São eles:
➡️C1 é a posição da câmera 1 que possui coordenadas (3,1);
➡️ C2 é a posição da câmera 2 que possui coordenadas (2,4).
Essa reta mediatriz é perpendicular ao segmento C1C2 e também o intercepta em seu ponto médio. Os pontos que estão sobre essa reta são equidistantes de C1 e C2, ou seja, se escolhermos um ponto P(x,y) qualquer nesta reta, a distância dele até C1 será igual a distância dele até C2.
Vamos encontrar essa equação de duas maneiras diferentes: na primeira, vamos trabalhar com a equação fundamental da reta.
y – y0 = m (x – x0)
Precisamos do coeficiente angular e de um ponto. O que vamos utilizar é o ponto médio PM de C1 e C2.
PM = ((x1 + x2)/2 ; (y1 + y2)/2)
PM = ((3 + 2)/2 ; (1 + 4)/2)
PM = (5/2 ; 5/2)
A seguir, vamos obter o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos C1 e C2, vamos denotá-lo simplesmente por m1.
m1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) = (4 – 1) / (2 – 3) = 3/–1 = – 3
A reta que passa pelos pontos C1 e C2 é perpendicular à reta mediatriz do segmento C1C2 que possui coeficiente angular m2. Nós podemos obter o valor de m2 usando a seguinte relação.
m1 × m2 = –1
– 3 × m2 = –1
m2 = 1/3
Finalmente, aplicamos m = 1/3 e (x0 , y0) = (5/2 , 5/2) na equação fundamental da reta:
y – y0 = m ( x – x0)
y – 5/2 = (1/3) ( x – 5/2)
y = (1/3)x – (5/6) + (5/2)
y = (1/3)x – (5/6) + (15/6)
y = (1/3)x + 10/6
y = (1/3)x + 5/3 "R4" portanto, alternativa correta é a letra (D).
Essa é uma possibilidade de resolução, a seguir, vamos obter essa mesma equação de uma outra forma.
Encontrar a equação da reta mediatriz por meio da fórmula da distância entre dois pontos
fórmula da distância entre dois pontos
(x1,y1) e (x2,y2) que é dada por:d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
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