(Fuvest 2021) Um aplicativo de videoconferências estabelece, para cada reunião, um código de 10 letras, usando um alfabeto completo de 26 letras.  A quantidade de códigos distintos possíveis está entre 

a) 10 bilhões e 100 bilhões.
b) 100 bilhões e 1 trilhão.
c) 1 trilhão e 10 trilhões.
d) 10 trilhões e 100 trilhões.
e) 100 trilhões e 1 quatrilhão.


Note e adote:

log10 13 ≅ 1,114       
1 bilhão = 109


Solução:  questão muito interessante da FUVEST 2021 que envolve tanto análise combinatória quanto logaritmos.  Vamos resolvê-la bem passo a passo.

A quantidade de códigos de 10 dígitos que podem ser formados com 26 letras é igual a: 

{26 x 26 x 26 x (...) x 26 }  dez vezes  
Ou seja, 2610.  
Um número enorme.....

Agora vem a pergunta: ele é da ordem dos bilhões?  Ou dos trilhões? Ou quatrilhões?

Para nos ajudar a chegar nessa resposta, a banca examinadora deu uma pista muito boa quando nos informou o valor de log10 13 ≅ 1,114.

O que acontece quando aplicamos log10   a um valor qualquer, por exemplo, o 2610?  Ou seja, qual seria o efeito de fazermos  log10  ( 2610 ) ? 

Nós vamos encontrar o expoente que aplicado a 10 chega ao número monstruoso de 2610.
Ou seja, ao fazermos log10  ( 2610 )     teremos esse efeito 10x = 2610

E é esse x aí que a gente precisa descobrir pra saber se o número é da ordem de bilhão, trilhão, quatrilhão, etc.  Se acharmos x=9, por exemplo, então saberemos que o número é bilionário e por aí vai.  Agora vamos trabalhar nesse logaritmo:

log10  ( 2610 )
10 . log10  (26)
10 . log10  (2 . 13)
10 . [  log10  (2)  + log10  (13)  ]
log10  (2) não foi informado, mas é bom decorar, vale aproximadamente 0,3.
10 . [  0,3  + 1,114 ]
10 . [  1,414 ]
14,14

Então, o número 2610 é aproximadamente 1014,14.

109 = 1 bilhão
1012 = 1 trilhão
1013 = 10 trilhões
1014 = 100 trilhões
1015 = 1 quatrilhão

Note que 1014,14 está entre 100 trilhões e 1 quatrilhão.  Alternativa correta é a letra E.

Aproveite e continue praticando com as listas de exercícios resolvidos a seguir:

>> Exercícios de Análise Combinatória;

>> Exercícios de Logaritmos;

Um forte abraço e bons estudos.