(FUVEST 2021) Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cm e 35 cm.  A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo.  A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de 

a) 8,0 cm
b) 8,5 cm
c) 9,0 cm
d) 9,5 cm
e) 10,0 cm

Solução:  questão muito boa de geometria plana da FUVEST 2021, onde aplicaremos a semelhança de triângulos.  Ilustrando nosso problema:


Repare que os dois novos triângulos da figura são semelhantes, sendo assim:

(12 - l) / l = l / (35 - l)
(12 - l) (35 - l) = l²
420 - 12 l - 35 l + l² = l²
420 - 47 l = 0
47 l = 420
l = 420/47
l ≅ 8,94
Alternativa correta é a letra C.

Curiosidade: também podemos resolver o mesmo problema usando a geometria analítica.




Repare que a reta em azul é a hipotenusa e os catetos do triângulo estão sobre os eixos x e y.  A equação dessa reta é facilmente obtida, pois ela tem coeficiente b = 12 e seu coeficiente angular a é dado por 

a = Δy/Δx = (y2-y1) / (x2-x1) = (0 - 12) / (35-0) = -12/35

Logo a equação da reta azul é y = - (12/35) x + 12

A equação da reta vermelha representa a diagonal do quadrado, seu coeficiente b = 0, e seu coeficiente angular é igual a tg 45º = 1, ou seja, tem equação simples de y = x.

Basta igualarmos estas retas e teremos o valor do lado do quadrado.

- (12/35) x + 12  =  x

12 = (12/35) x + x

12 = (47/35) x

x = (12 . 35) / 47

x = 420 / 47 

Veja que interessante, esta divisão (420/47) é a mesma que fizemos quando aplicamos a semelhança de triângulos.

x ≅ 8,94.




Espero que as resoluções usando tanto a geometria plana quanto a geometria analítica tenham te ajudado a compreender essa questão.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios de semelhança de triângulos.

Um forte abraço e bons estudos.