(Colégio Naval 2019) Observe a figura a seguir.

Nela temos dois triângulos equiláteros de lado 2√3.  Sabe-se que o círculo no interior do primeiro triângulo e o quadrado no interior do segundo triângulo, tem as maiores áreas possíveis.  É correto afirmar, que a razão entre os perímetros do círculo e do quadrado é igual a:

a)  π√6.(√3 + 3)
             12
b)  π√6.(√3 -1)
             12
c)  (π + 3√3) √3
             6
d)  π√3.(3 + 2√3)
             36
e)  π√3.(√3 + 6)
             36

Solução: questão muito rica de geometria do concurso Colégio Naval 2019 sobre polígonos inscritos em um triângulo equilátero.  Primeiramente, a altura deste triângulo pode ser obtida usando o Teorema de Pitágoras.


h² + (√3)² = (2√3)²
h² + 3 = 12
h² = 9
h = 3

Agora, vamos encontrar o perímetro do círculo (Po) inscrito no triângulo equilátero, lembrando que este perímetro vale 2.π.raio, fórmula comumente conhecida como comprimento da circunferência (não confundir com a fórmula da área da circunferência).  

O raio do círculo inscrito no triângulo equilátero vale um terço (1/3) da altura deste triângulo.  Isto porque o centro do círculo está sobre o baricentro (encontro das medianas) do triângulo equilátero e a distância do baricentro até um dos vértice vale 2/3 da altura.


Logo, o perímetro do círculo (Po) vale 2.π.1 = 2π.

Vamos obter o lado do quadrado inscrito no triângulo equilátero de lado 2√3, aqui usaremos semelhança de triângulos, repare na figura a seguir:
Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo, possuem medidas proporcionais.

DE/BC = AE/AC
3/X = √3 / [(2√3 - X)/2]
3 . [(2√3 - X)/2] = X√3
3√3 - 3X/2 = X√3
3√3 = 3X/2 +  X√3 
X (3/2 + √3) = 3√3 
X = (3√3) / (3/2 + √3)

O perímetro do quadrado (P⬜) vale quatro vezes o valor do lado, ou seja:

P⬜ = 4 X =  4 . (3√3) / (3/2 + √3)

Finalmente, basta calcular o último comando da questão: "é correto afirmar, que a razão entre os perímetros do círculo e do quadrado é igual a".

Po / P⬜ = [2.π] / [4 . (3√3) / (3/2+√3)]
[2.π . (3/2+√3)] / 12√3
[3.π + 2.π.√3)] / 12√3
[π (3 + 2√3) ] / 12√3
Vamos multiplicar por √3 / √3
√3[ π (3 + 2√3) ] / 12√3.√3
[π.√3 . (3 + 2√3)] / 36

Alternativa correta é a letra d).

Esperamos que a resolução passo a passo e ilustrada tenha te ajudado a compreender essa questão de geometria do Colégio Naval 2019. Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.