(ENEM 2021 Reaplicação) Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular ABC, conforme Figura 1, com lados 18, 14 e 12 cm.

Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada, de tal maneira que o vértice B ficou sobre o segmento AC, e o segmento DE ficou paralelo ao lado AC, conforme figura 2.

Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo ACB é menor que o ângulo CAB e este é menor que o ângulo ABC, e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas. 

Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos DB, BE e EC?

a) 19
b) 20
c) 21
d) 23
e) 24

Solução: questão de matemática (geometria plana)  do ENEM 2021 (Reaplicação),  prova do dia 16/01/2022.

Em primeiro lugar, repare que a questão não especifica exatamente quais são os lados do triângulo ABC que valem 18, 14 e 12 cm.  Então, a primeira coisa que temos que fazer é descobrir quanto vale AB, AC e BC.  Perceba que o enunciado nos deu uma pista, ele diz:

"o ângulo ACB é menor que o ângulo CAB e este é menor que o ângulo ABC"

ACB < CAB < ABC

Em um triângulo, o menor ângulo está "apontando" para o menor lado (ou seja, ACB está apontando para o lado de 12 cm).   O maior ângulo está "apontando" para o maior lado (ou seja, ABC está apontando para o lado de 18 cm).  E o ângulo "do meio" está apontando para o lado "do meio" (ou seja, CAB está apontando para o lado de 14 cm).  Vamos ilustrar isso.


Já sabemos que o lado AB = 12 cm, AC = 18 cm e BC = 14 cm, vamos trabalhar na segunda parte.  Agora a indústria vai dobrar o triângulo levando o ponto B até o ponto que ilustramos a seguir como B'.  Fazendo isso o segmento DE fica paralelo a AC.  Veja a ilustração dessa dobra na figura a seguir:


O objetivo da questão é obter DB + BE + EC.  Já sabemos quanto vale BE + EC , pois é igual a BC = 14 cm.  Sendo assim, o objetivo da questão passa a ser obter DB + 14 cm.  Identificamos DB como x na figura acima.  

Perceba que a indústria ao criar essa dobra, criou triângulos semelhantes, repare que ABB' é semelhante ao triângulo DBF.  Além disso, sabemos que BF = FB' = h, isto porque o ponto B vai cair exatamente lá em cima do B'.  Isto já é suficiente para obter o valor de x usando a semelhança de triângulos.

12/x = (h+h)/h
12/x = 2h/h
12/x = 2
12 = 2x
x = 6 cm

Finalmente, basta somarmos DB + 14 cm = x + 14 cm = 6cm + 14cm = 20cm.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.