(UECE 2024.2)  Considere, no plano, o triângulo OIE e K um ponto em seu interior, tal que as medidas dos ângulos OîK, EÔI, KÊO são, cada uma delas, iguais a 45°. Se a medida do lado IE é igual a 8 m, então, é correto afirmar que a medida, em m², da área do quadrilátero OIKE é igual a A) 28. B) 30. C) 26. D) 32. Nota: O prolongamento do segmento IK corta o lado OE no ponto M formando o triângulo OIM retângulo isósceles. Solução: uma questão muito interessante de matemática (geometria plana) do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024. Em primeiro lugar, vamos esboçar o triângulo OIE e o ponto K em seu interior com as medidas informadas no enunciado. Com essas medidas preenchidas, é possível observar que o triângulo KME também é um triângulo retângulo isósceles, isto porque ele possui um ângulo de 90° e outro de 45°, assim, para completar os 180° (a soma ...

(UERJ 2025)  Considere o triângulo retângulo ABC, representado a seguir: Sabe-se que:  • BC é perpendicular a AC;  • AD é a bissetriz do ângulo CAB;  • ABC é igual a 30º;  • BD mede 20 cm. A razão AC  /  DC é igual a: a) √ 3 b) √ 2 c)  √ 3          2 d)  √ 2          2 Solução:  questão de matemática (geometria plana) do  Vestibular UERJ 2025 (2º Exame de Qualificação),  prova aplicada em 08/09/2024. O ângulo  CAB  vale 60°, isto porque a soma dos três ângulos internos do triângulo ABC vale 180°. CAB  + 30° + 90° = 180° CAB  + 120° = 180° CAB  = 180° - 120° CAB  = 60° AD é a bissetriz do ângulo CAB, isto quer dizer que AD divide CAB em dois ângulos iguais, cada um com 30°.  Vamos ilustrar isso a seguir, fato que vai nos permitir descobrir que o ângulo ADC vale 60°. ...

(EEAR CFS 2/2024)  Num triângulo ABC, BC = 20 cm. Os pontos P, Q e R dividem o lado AB em quatro partes iguais, sendo P o ponto mais próximo de B. Seja S um ponto de AC , de forma que PS//BC. Então, PS = ___ cm.  a) 15 b) 10 c) 9 d) 5 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024 .  Prova aplicada em 19/11/2023. Para resolvermos essa questão de geometria plana, vamos ilustrar o triângulo ABC com as informações do enunciado.  Vamos identificar que os triângulos ABC e APS são semelhantes. Na figura, sabemos que PS é paralelo a BC, logo, os ângulos APS e ABC são correspondentes, o mesmo acontece com ASP e ACB. Podemos notar que os triângulos APS e ABC possuem os três angulos internos iguais, logo eles são  triângulos semelhantes. Teorema Fundamental da Semelhança de Triângulos "Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e inte...

(ENEM 2022 Reaplicação/PPL)  Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado. Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações. Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta. Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.  Utilize 3 como aproximação para π.  Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?  A) I e V B) II e III C) II e V D) III e IV E) IV e V Solução:  questão de matemática do  ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,   prova aplicad...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Observe a figura abaixo: Se ABCD é um quadrado e ABP um triângulo equilátero, determine o ângulo x e assinale a opção correta. a) 135° b) 105° c) 100° d) 97° e) 95° Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão de geometria plana muito interessante sobre ângulos, vamos ilustrar a figura com algumas informações importantes. Perceba que a aresta AB é comum ao quadrado e ao triângulo equilátero, isto quer dizer que as duas figuras geométricas têm lados com medidas iguais, vamos atribuir um valor L qualquer.  Agora, vamos nos concentrar no triângulo DAP, note que ele é isósceles, sendo assim, os ângulos em D e em P são iguais a um valor qualquer, vamos atribuir o valor de θ.  Além disso, o ângulo em A vale 150°, devido a soma de dois ângulos, são eles:  90° (um dos ângulos internos do quadrado) e 60° (um dos ...

(IBGE Recenseador Censo 2022)  As medidas em graus dos 3 ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, respectivamente. O maior ângulo desse triângulo mede, em graus:  (A) 145. (B) 135. (C) 120. (D) 90. (E) 75. Solução:  questão de matemática do PSS do IBGE para Recenseador do Censo 2022, Banca Examinadora: FGV - Fundação Getúlio Vargas,  prova aplicada no dia 10/04/2022. Sabemos que a soma dos 3 ângulos internos de um triângulo vale 180°.  Sejam, "a", "b" e "c" os três ângulos internos deste triângulo, então temos que a + b + c = 180°  (Equação I) Além disso, "a", "b" e "c" são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.  Isto quer dizer que a = 3 x K b = 4 x K c = 5 x K  ( maior ângulo é "c" ) Vamos descobrir quanto vale K aplicando os valores acima na equação I. (3 x K) + (4 x K) + (5 x K) = 180° 12 x K = 180° K = 180°/12 K = 15° O maior ângulo desse triângulo é o c = 5  x K = 5 x 15° = ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2019) Considere o triângulo ABC, isósceles, de lados AB = AC.  Seja o ponto D, sobre o lado BC, de forma que o ângulo BAD é 30°.  Seja E o ponto sobre o lado AC, tal que o ângulo EDC vale x graus.  Tendo em vista que o segmento AD e AE têm as mesmas medidas, é correto afirmar que o valor da quarta parte de x é: a) 3° b) 3° 20' c) 3° 30' d) 3° 35' e) 3° 45' Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2019,  prova do dia 14/04/2019. Uma questão muito interessante da EAM sobre ângulos de um triângulo, vamos desenhar um esboço do triângulo ABC com as informações fornecidas no enunciado. Além das informações explícitas no enunciado, nós sabemos também que os ângulos ABC e ACB são iguais, isto porque o triângulo ABC é isósceles  (com AB=AC).  Do mesmo modo, os ângulos ADE e AED também são iguais, pois ADE também é isósceles (com AD=AE).  Vamos atualiza...

(ENEM 2021 Reaplicação)  Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular ABC, conforme Figura 1, com lados 18, 14 e 12 cm. Posteriormente, a peça triangular ABC foi dobrada, de tal maneira que o vértice B ficou sobre o segmento AC, e o segmento DE ficou paralelo ao lado AC, conforme figura 2. Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo ACB é menor que o ângulo CAB e este é menor que o ângulo ABC, e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas.  Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos DB, BE e EC? a) 19 b) 20 c) 21 d) 23 e) 24 Solução:  questão de matemática (geometria plana)  do ENEM 2021 (Reaplicação),   prova do dia 16/01/2022. Em primeiro lugar, repare que a questão não especifica exatamente quais são os lados do triângulo ABC que valem 18, 14 e 12 cm.  Então, a primeira coisa que temos que fazer é descobrir quanto vale AB, AC e BC.  Perceba que o enunciado no...

(EEAR CFS 2/2021) Num triângulo ABC, se o ângulo do vértice A mede 70º, então o ângulo determinado em BÎC (I é o incentro do triângulo ABC) é:  a) 95º b) 110º c) 125º d) 135º Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Para resolvermos essa questão sobre cevianas de um triângulo , vamos utilizar o conceito de incentro do triângulo, que é o ponto de encontro das bissetrizes.  A bissetriz é o segmento de reta que parte de um vértice de um triângulo "dividindo" este ângulo ao meio e alcança o lado oposto.  Repare na ilustração a seguir do triângulo ABC. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, então temos que: >>> soma dos ângulos internos do triângulo ABC 70° + 2b + 2c = 180° 2 . (b + c) = 180° - 70° b + c = 110°/2 b + c = 55° >>> soma dos ângulos internos do triângulo BIC b + c + x = 180° 55° + x = 180° x = 180° - 55° x...

(Fuzileiro Naval 2021) Em um triângulo qualquer, qual é o valor da soma dos ângulos internos?  A) 30° B) 45° C) 60° D) 90° E) 180° Solução: nesta questão da prova de 2021 do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2022, só precisamos conhecer a velha regra de que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180°.    Alternativa correta é a letra e). Curiosidade: a soma dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo de N lados tem a seguinte fórmula: Si = (N-2) x 180° Como o triângulo possui N=3 lados, então Si = (3-2) x 180° = 180°. Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.

(ENEM 2020 - Digital) Considere o guindaste mostrado nas figuras, em duas posições (1 e 2). Na posição 1, o braço de movimentação forma um ângulo reto com o cabo de aço CB que sustenta uma esfera metálica na sua extremidade inferior.  Na posição 2, o guindaste elevou seu braço de movimentação e o novo ângulo formado entre o braço e o cabo de aço ED, que sustenta a bola metálica, é agora igual a 60°. Assuma que os pontos A, B e C, na posição 1, formam o triângulo T1 e que os pontos A, D e E, na posição 2, formam o triângulo T2, os quais podem ser classificados em obtusângulo, retângulo ou acutângulo, e também em equilátero, isósceles ou escaleno.  Segundo as classificações citadas, os triângulos T1 e T2 são identificados, respectivamente, como  a) retângulo escaleno e retângulo isósceles. b) acutângulo escaleno e retângulo isósceles. c) retângulo escaleno e acutângulo escaleno. d) acutângulo escaleno e acutângulo equilátero. e) retângulo escaleno e acutângulo equilátero...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Para construir uma ponte entre duas margens de um rio foram marcados, primeiramente, dois pontos A e B numa mesma margem distantes 100 m e um ponto C na margem oposta.  Utilizando um teodolito (aparelho utilizado para medição de ângulo) descobriram-se as seguintes informações: ângulo CAB = 30º e ângulo ABC = 75º.  Sabe-se que a ponte deverá ter o  menor tamanho possível saindo do ponto C e chegando a margem oposta.  Sendo assim, é correto afirmar que o comprimento dessa ponte será igual a: a) 20 m  b) 30 m   c) 40 m  d) 50 m  e) 60 m  Solução: questão muito interessante de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020.  A questão traz uma aplicação prática da matemática na medição de distâncias usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo .   Vamos ilustrar o problema proposto com as informações fornecidas pelo enunciad...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2020) Observe o triângulo a seguir. No triângulo ABC traçamos o segmento AD de forma que DC=AC.  Se o ângulo BAC supera em 40º o ângulo ABC, é correto afirmar que o ângulo BAD mede, em graus: a) 35º  b) 30º  c) 25º  d) 20º  e) 15º Solução:   questão de matemática sobre ângulos em um triângulo do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2020.  Vamos escrever em nossa figura as informações dadas no enunciado e outras que daí advêm.  Repare que o triângulo ADC é isósceles, logo terá dois ângulos iguais a i e um ângulo igual a 180-2i .   Nosso objetivo é encontrar θ. Do enunciado: "Se o ângulo BAC supera em 40º o ângulo ABC".  θ + i = α + 40 α =  θ + i - 40 A soma dos três ângulos internos do triângulo ABC = 180º. α + θ + i + 180 - 2i = 180 (θ + i - 40) + θ + i + 180 - 2i = 180 2θ  - 40= 0 2θ = 40  θ = 20 Alternativa correta é a letra d). Ap...

(Colégio Naval 2020) Observe a figura a seguir Na figura temos um triângulo equilátero ABC de baricentro G e o triângulo ABG cujo incentro é I.  É correto afirmar que o suplemento do ângulo GAI em radianos é igual a: a) 7π/9     b) 5π6    c) 8π/9    d) 9π/10    e) 11π/12 Solução:   questão de matemática do Colégio Naval 2020 de geometria onde precisamos dos conceitos de baricentro e incentro. Em um triângulo: Baricentro é o ponto de encontro das medianas. Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes. Mediana é o segmento que parte de um vértice e alcança o lado oposto dividindo este lado em dois segmentos iguais. Bissetriz é o segmento que parte de um vértice, dividindo o ângulo deste vértice em dois ângulos iguais e alcança o lado oposto. Observe a figura a seguir: Num triângulo equilátero, as medianas, as bissetrizes e também as alturas estão sob a mesma reta, então o segmento de reta AF é mediana, bissetriz e alt...

(Fuzileiros Navais Turmas I e II 2019) - Na figura abaixo, os pontos A, B e C estão alinhados.  Qual é a soma dos ângulos marcados em cinza? a) 120º b) 180º c) 270º d) 360º e) 540º Resolução:    Sabemos que a soma dos três ângulos internos de um triângulo vale 180º.  Desse modo a figura acima é representada por 3 triângulos que juntos somarão 180 º + 180 º + 180 º = 540º. Perceba que os três ângulos que não estão marcados em cinza ( ali no ponto B) formam um ângulo de 180 º. Sendo assim a soma de todos os ângulos marcados em cinza será 540 º - 180º = 360º ( alternativa D)