(VUNESP 2022) Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a
roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em
um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que
são equiprováveis.
As regras do jogo são:
1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio;
2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;
3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;
4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio.
Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o
prêmio é de
(A) 50%.
(B) 42%.
(C) 56%.
(D) 58%.
(E) 66%.
Solução: questão de matemática do
Vestibular da UNESP 2022 (Cursos da Área de Biológicas), prova do dia 14/11/2021.
Considerações iniciais: em cada rodada, ou a banca fica com o prêmio ou os jogadores ficam com o prêmio. Repare que, em cada rodada, a banca ganhar ou a banca perder são eventos complementares, ou seja, a soma de suas probabilidades é igual a 100% (que é igual a 1).
A partir de agora, vamos calcular de quantas maneiras A ou B podem ficar com o prêmio e consequentemente a banca estará perdendo.
A ganha com múltiplos de 3, já B ganha com múltiplos de 4 ou 6. Além disso, há empate se ambos atingirem juntos os requisitos para vitória. Por exemplo, se cair o número 6, repare que
A vence, pois 6 é múltiplo de 3
B vence, pois 6 é múltiplo de 6
** Sabemos que se um número é múltiplo de 6, então ele também é múltiplo de 3. Isto ocorre porque 6 = 3 x 2. Do mesmo modo que se um número é múltiplo de 6, então ele também será múltiplo de 2.
Com esta informação, perceba que a banca irá perder sempre que caírem múltiplos de 3,4 ou 6. Mas como os múltiplos de 6 são também múltiplos de 3, então podemos simplificar isso dizendo que a banca irá perder nos múltiplos de 3 ou 4.
Agora, vamos contar de 1 até 100 quantos números múltiplos de 3 ou 4 existem.
Múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, ...., 99 }
Re-lembrando a formação deste conjunto: { 3 x 1 = 3 ; 3 x 2 = 6; 3 x 3 = 9 ; 3 x 4 = 12, ...... , 3 x 33 = 99 }
O último múltiplo de 3 neste conjunto é o número 99 que é igual a 3 x 33, então temos 33 múltiplos de 3.
Múltiplos de 4 = { 4, 8, 12, 16, ...., 100 }
O último múltiplo é o 100 que é igual a 4 x 25, então temos 25 múltiplos de 4.
Agora, temos que somar 33 + 25 = 58.
Devemos ter muita atenção agora: na contagem feita acima, nós duplicamos alguns números, são os múltiplos de 12. Repare que na contagem feita acima, os 8 números { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 e 96} foram contados duplamente, pois foram contados no conjunto dos múltiplos de 3 e também no conjunto dos múltiplos de 4. Repare, por exemplo, que 12 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 4. Outro exemplo, 24 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 4.
Então, para eliminar essa dupla contagem, o que temos que fazer agora é diminuir 58 - 8 = 50.
Conclusão: entre os 100 números naturais positivos de 1 até 100, nós temos 50 números que são múltiplos de 3 ou múltiplos de 4.
Agora, já temos os elementos necessários para calcular a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio. A banca perde em 50 casos e ela vence nos outros (100 - 50) = 50 casos.
P = E/U
E = quantidade de casos em que ela vence = 50
U = quantidade total de casos = 100
Logo a probabilidade de ela vencer é igual a 50/100 = 50%.
Alternativa correta é a letra a).
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