5 - (Concurso: Técnico Bancário - CEF Caixa Econômica Federal  / Banca: Fundação Cesgranrio - Ano 2008)  Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? 

(A) 90 (B) 142 (C) 220 (D) 229 (E) 232

Solução:  primeiramente, para sabermos a quantidade de múltiplos de 7 compreendidos entre 1 e 1000, vamos dividir 1000 por 7 e o quociente da divisão será igual a 142.  No quadro a seguir, estão ilustrados esses múltiplos.

7 x 0 = 0 (fora do intervalo)
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
(...)
7 x 142 = 994
7 x 143 = 1001 (fora do intervalo)

Podemos notar que existem 142 múltiplos de 7 entre 1 e 1000.

Do mesmo modo, para sabermos a quantidade de múltiplos de 11 compreendidos entre 1 e 1000, vamos dividir 1000 por 11 e o quociente da divisão será igual a 90.

Ilustrando:

11 x 0 = 0 (fora do intervalo)
11 x 1 = 11
11 x 2 = 22
11 x 3 = 33
(...)
11 x 90 = 990
11 x 91 = 1001 (fora do intervalo)

Podemos notar que existem 90 múltiplos de 11 entre 1 e 1000.

Precisamos ter em mente que existem números que se repetem nesses dois conjuntos, são os múltiplos de 77.  Isto porque 77 é o MMC (mínimo múltiplo comum) entre 7 e 11.

>> Caso necessário, você pode conferir nesse artigo como calcular o MMC e o MDC entre dois ou mais números.

Para sabermos a quantidade de múltiplos de 77 compreendidos entre 1 e 1000, vamos dividir 1000 por 77 e o quociente da divisão será igual a 12.

Ilustrando:

77 x 0 = 0 (fora do intervalo)
77 x 1 = 77
77 x 2 = 154
77 x 3 = 231
(...)
77 x 12 = 924
77 x 13 = 1001 (fora do intervalo)

Podemos notar que existem 12 múltiplos de 77 entre 1 e 1000.

Finalmente, o número de múltiplos de 7 ou de 11 entre 1 e 1000 é igual a:

142 + 90 - 12 = 220

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e confira mais questões sobre:

>> Teoria dos Conjuntos e Diagrama de Venn

>> Exercícios Resolvidos sobre MMC e MDC

Um forte abraço e bons estudos.