(EPCAR 2021) Para participar de um concurso no qual serão escolhidos mosaicos para a calçada de uma igreja, um artista construiu seu mosaico usando pentágonos regulares e losangos dispostos conforme figura a seguir:

Sabe-se que a e b são ângulos do pentágono regular e do losango, respectivamente. Se a soma a + b  equivale a x graus, então, quanto ao valor de x pode-se afirmar que é um número 

a) primo.  b) quadrado perfeito.  c) divisível por 7.  d) múltiplo de 10.

Solução: questão de matemática da EPCAR 2021, onde trabalharemos com ângulos de figuras planas.

A primeira pergunta é quanto vale o ângulo a?

O pentágono regular é formado por 5 ângulos internos cujas medidas são iguais a 108°, logo a vale 108°.  Isto porque o pentágono regular possui 5 ângulos internos iguais e a soma dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo é dado pela fórmula geral:

Si = (n-2) . 180°  

n é o número de lados do polígono e o pentágono regular possui 5 lados, logo n=5.

Si =  (5-2) . 180°
Si = 3 . 180°
Si = 540°

Dividindo-se 540° por 5, chegaremos a 108°.  A seguir, ilustramos as medidas de um pentágono regular cujo lado vale L.




Sabendo que a vale 108°, podemos facilmente encontrar b, por meio do triângulo ABC ilustrado a seguir:




72° + 72° + b = 180°
b = 180° - 144°
b = 36°

Curiosidade:  b também pode ser obtido por meio da soma dos 4 ângulos internos do losango que é igual a 360°.

b + b + (72+72) + (72+72) = 360°
2b + 144 + 144 = 360
2b = 360 - 288
2b = 72
b = 36°

Finalmente, temos que

x = a + b
x = 108° + 36°
x = 144°

Note que x 
  • não é primo. 
  • não é divisível por 7. 
  • não é múltiplo de 10.
Podemos verificar que x é um quadrado perfeito, pois 144 = (12)².

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.