(EPCAR 2023) Considere que x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau (m − 2)x² + (m − 10)x = −16 + 2m, na incógnita x, com m ∈ IR, m ≠ 2 e x1 + x2 = 7

(EPCAR 2023) Considere que x1 e x2 são as raízes da equação do segundo grau 

(m − 2)x² + (m − 10)x = −16 + 2m, na incógnita x, com m ∈ IR, m ≠ 2 e x1 + x2 = 7

O número B 

a) é primo. b) é irracional.  c) é quadrado perfeito. d) tem 12 divisores naturais.

---

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022).

(m − 2)x² + (m − 10)x = −16 + 2m

(m − 2)x² + (m − 10)x  + 16 - 2m = 0

Os coeficientes dessa equação do segundo grau são:

a = m - 2

b = m - 10

c = 16 - 2m

Das Relações de Girard, sabemos que a soma das duas raízes dessa equação vale -(b)/a , que de acordo com o enunciado vale 7.

x1 + x2 = 7 =  - (b) / a

7 = - (m-10) / (m − 2)

7 (m-2) = -m + 10

7m - 14 = -m + 10

8m = 24

m = 3

Para encontrarmos B, basta substituir, na expressão, os valores de m por 3 e efetuar as operações com frações.

Depois dessas operações concluímos que B = 96.  Agora, vamos julgar as alternativas de resposta.

O número B 

a) é primo.   Falsa, pois o número só é primo quando ele é maior do que 1 e é divisível apenas por 1 e ele mesmo.  Repare que o 96 pode ser dividido por outros números além do 96 e do 1, por exemplo, pode ser dividido pelo 2, pelo 3, dentre outros, o que já elimina aí a chance de ser primo.

b) é irracional.   Falsa, pois o 96 pode ser escrito na forma de uma divisão de dois números inteiros (o número 96 é o mesmo que 96/1), sendo assim, não é irracional. 

c) é quadrado perfeito.  Falsa, pois os quadrados perfeitos mais próximos são 9² = 81 e 10² = 100.  Podemos visualizar, assim, que o número 96 não pode ser um quadrado perfeito.

d) tem 12 divisores naturais.  Verdadeira

Já eliminamos as alternativas (a), (b) e (c), deste modo, somente a (d) pode ser a verdadeira.  Mesmo assim, vamos confirmar a seguir que o 96 possui 12 divisores naturais.

Podemos obter o número de divisores naturais de 96 por meio da estratégia a seguir:

1º) Fazemos a decomposição do 96 em fatores primos:

96  |  2
48  |  2
24  |  2
12  |  2
6    |  2
3    |  3    
1    |   

96 = 2⁵ x 3¹

2°) Calculamos a quantidade (Q) de divisores naturais do 96 por meio da fórmula da quantidade de divisores naturais de um número natural:

Q = (5 + 1) . (1 + 1)

Q = 6 . 2

Q = 12  (ok!)

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.