(UECE 2023.1) Considere um plano com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, onde a unidade de medida usada nos eixos coordenados é o cm. Nesse plano, a equação x² + y² - 8x - 8y + 7 = 0 representa uma circunferência cuja interseção com os eixos coordenados são os pontos M, N, P e Q. Pode-se afirmar corretamente que a medida da área do quadrilátero convexo MNPQ, em cm² , é igual a 

A) 24. B) 36. C) 25. D) 35.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022.

Uma questão bem interessante do Vestibular da UECE que envolve geometria analítica e geometria plana.  Em primeiro lugar, vamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados.

>> Encontrando os pontos de interseção com o eixo x

Aplicamos y = 0 na equação da circunferência:

x² + y² - 8x - 8y + 7 = 0
x² + 0² - 8x - 8.0 + 7 = 0
x² - 8x + 7 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, chegaremos em x1 = 1 e x2 = 7.  Sendo assim, os pontos de interseção da circunferência com o eixo x são os pontos (1,0) e (7,0).

>> Encontrando os pontos de interseção com o eixo y

Aplicamos x = 0 na equação da circunferência:

x² + y² - 8x - 8y + 7 = 0
0² + y² - 8.0 - 8y + 7 = 0
y² - 8y + 7 = 0

Equação idêntica a anterior, logo temos que y1 = 1 e y2 = 7.  Sendo assim, os pontos de interseção da circunferência com o eixo y são os pontos (0,1) e (0,7).

No passo a seguir, vamos ilustrar no plano cartesiano os pontos: (0,1) , (0,7) , (1,0) e (7,0) sem a necessidade de ilustrarmos a circunferência.


Nosso objetivo é calcular a área do quadrilátero convexo MNPQ, vamos fazer isso calculando a área do triângulo OPQ menos a área do triângulo OMN.

Área do triângulo OPQ = (base x altura) /2
Área do triângulo OPQ = (7 x 7) /2
Área do triângulo OPQ = 49/2

Área do triângulo OMN = (base x altura) /2
Área do triângulo OMN = (1 x 1) /2
Área do triângulo OMN = 1/2

Finalmente a área de MNPQ = (49/2) - (1/2) = 48/2 = 24 cm²

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.