(UECE 2023.1) Uma plantação de alface ocupa uma área de forma retangular. Essa área é tal que a distância entre seus cantos opostos é 150 m, e a medida do menor ângulo entre suas diagonais é 60 graus. Então, a medida, em m², da área considerada é

a) 5625√2 .
b) 5620√3 .
c) 5615√2 .
d) 5625√3 .

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022.

Uma questão bem interessante de geometria plana, para resolvê-la, vamos primeiramente ilustrar a área retangular da plantação de alface com as informações fornecidas no enunciado:


Da disciplina propriedades dos retângulos, sabemos que as duas diagonais AC e BD possuem a mesma medida, note que elas são hipotenusas de triângulos retângulos com os mesmos catetos (x e y).  Logo, temos que AC = BD = 150 m. 

Além disso, sabemos que as duas diagonais, que se encontram no ponto O, estão sendo dividas ao meio neste ponto, de modo que as distâncias AO, BO, CO e DO são todas iguais a 150/2 = 75 m.  Logo, temos que AO = BO = CO = DO = 75 m.

Também sabemos que a medida do menor ângulo entre suas diagonais é de 60 graus, isto quer dizer que os ângulos AÔB = CÔD = 60°.  Também sabemos que 

AÔB + BÔC = 180°
60° + BÔC = 180°
BÔC = 180° - 60°
BÔC = 120°

Temos também que BÔC = AÔD = 120°.

Com estes conceitos, ilustramos a figura acima e já podemos pensar em formas de como calcular a área desse retângulo.

Podemos obter a área por meio do produto entre as medidas x e y.  Para encontrar x e y poderíamos utilizar a lei dos cossenos, pois conhecemos o cosseno de 60° e o cosseno de 120° e temos as medidas necessárias para encontrar x e y.  Com os valores de x e y multiplicaríamos um pelo outro e chegaríamos até o valor da área do retângulo.  Entretanto, este método será um pouco mais demorado.

Podemos calcular a área deo retângulo (AR ) por meio da soma das áreas dos 4 triângulos formados pelas diagonais (são eles: AOB, BOC, COD e DOA).  É fácil encontrar essas áreas por meio da fórmula da área do triângulo que utiliza o seno, para isso, basta saber a medida de dois lados do triângulo (L1 e L2) e o ângulo θ entre eles para aplicar na fórmula a seguir:

Área = L1 x L2 x seno (θ) 
                      2
Olhando para a figura, note que todas as quatro áreas desses quatro triângulos serão iguais, isto porque em todos os casos possuímos os mesmos lados L1 = 75 e L2 = 75 e entre eles o ângulo de 60° ou o ângulo de 120° e sabemos que o seno de 60° é igual ao seno de 120°.  Logo, se você calcular a área de qualquer um dos 4 triângulos, encontrará sempre o mesmo valor.  Neste caso, para encontrar a área do retângulo, basta calcular a área de AOB e multiplicar por 4, vamos equacionar isso:

AR = 4 x (Área de AOB)

AR = 4 x (75 x 75 x seno (60°)  )
                           2 

AR = 4 x (75² x √3  )
                  2 x 2 

AR = 5625 √3

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.