(EsPCEx 2023) Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B. Tomando-se quaisquer três pontos distintos dentre os 10, quantos triângulos não retângulos podem ser formados?
(EsPCEx 2023) Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B. Tomando-se quaisquer três pontos distintos dentre os 10, quantos triângulos não retângulos podem ser formados?
a) 8 b) 10 c) 30 d) 112 e) 120
Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.
Uma questão bem interessante envolvendo conceitos de geometria e análise combinatória.
Para resolvê-la, vamos utilizar a seguinte estratégia:
T = R + NR
Sendo T a quantidade total de triângulos, R a quantidade de triângulos retângulos e NR a quantidade de triângulos não retângulos.
Agora, vamos isolar NR na equação acima.
NR = T - R (Equação I)
Deste modo, o que vamos fazer para calcular a quantidade de triângulos não retângulos é calcular a quantidade total de triângulos e subtrair a quantidade de triângulos retângulos.
Para facilitar os comentários , vamos considerar que os 10 pontos sobre a semicircunferência são os pontos {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, conforme ilustrado a seguir.
Podemos observar o seguinte, por exemplo, os pontos ABC e BAC formam o mesmo triângulo, a ordem da escolha dos pontos não importa, então é um problema de combinação. Se temos 10 pontos e queremos saber quantos triângulos podemos formar, basta calcular uma combinação de 10 elementos tomados 3 a 3.
Relembrando a fórmula da combinação simples (C) de n elementos tomados p a p
C n,p = n!
p!(n-p)!
p!(n-p)!
C 10,3 = 10! / [3!(10-3)!]
C 10,3 = (10.9.8.7!) / (3.2.7!)
C 10,3 = 10.3.4
C 10,3 = 120
Isto quer dizer que o total de triângulos que podemos formar é igual a 120.
Agora, precisamos calcular quantos destes triângulos são retângulos?
Os triângulos retângulos são aqueles que contém os pontos A e B. Isto porque quando um triângulo está inscrito em uma circunferência, e tem um de seus lados igual ao diâmetro, então esse triângulo é retângulo, sendo o diâmetro a hipotenusa do triângulo. Você pode ver um exemplo ilustrativo nesta questão.
Só existem 8 triângulos retângulos. São os triângulos formados com os pontos A e B mais cada um dos outros 8 pontos, fáceis de serem enumerados para fins ilustrativos.
ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ
Finalmente, a quantidade de triângulos não retângulos é dada pela diferença a seguir:
NR = T - R
NR = 120 - 8
NR = 112
Alternativa correta é a letra d).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.
Um forte abraço e bons estudos.
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