(EsPCEx 2023) Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B. Tomando-se quaisquer três pontos distintos dentre os 10, quantos triângulos não retângulos podem ser formados?

(EsPCEx 2023) Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B.  Tomando-se quaisquer três pontos distintos dentre os 10, quantos triângulos não retângulos podem ser formados?

a) 8  b) 10  c) 30  d) 112  e) 120

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Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Uma questão bem interessante envolvendo conceitos de geometria e análise combinatória.  

Para resolvê-la, vamos utilizar a seguinte estratégia:

T = R + NR

Sendo T a quantidade total de triângulos, R a quantidade de triângulos retângulos e NR a quantidade de triângulos não retângulos.  

Agora, vamos isolar NR na equação acima.

NR = T - R   (Equação I)

Deste modo, o que vamos fazer para calcular a quantidade de triângulos não retângulos é calcular a quantidade total de triângulos e subtrair a quantidade de triângulos retângulos.

Para facilitar os comentários , vamos considerar que os 10 pontos sobre a semicircunferência são os pontos {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}, conforme ilustrado a seguir.

Podemos observar o seguinte, por exemplo, os pontos ABC e BAC formam o mesmo triângulo, a ordem da escolha dos pontos não importa, então é um problema de combinação.  Se temos 10 pontos e queremos saber quantos triângulos podemos formar, basta calcular uma combinação de 10 elementos tomados 3 a 3.

Relembrando a fórmula da combinação simples (C) de n elementos tomados p a p 

C n,p =    n!   
             p!(n-p)!

C 10,3 = 10! / [3!(10-3)!]

C 10,3 = (10.9.8.7!) / (3.2.7!)

C 10,3 = 10.3.4 

C 10,3 = 120

Isto quer dizer que o total de triângulos que podemos formar é igual a 120.  

Agora, precisamos calcular quantos destes triângulos são retângulos?

Os triângulos retângulos são aqueles que contém os pontos A e B.  Isto porque quando um triângulo está inscrito em uma circunferência, e tem um de seus lados igual ao diâmetro, então esse triângulo é retângulo, sendo o diâmetro a hipotenusa do triângulo.  Você pode ver um exemplo ilustrativo nesta questão.

Só existem 8 triângulos retângulos.  São os triângulos formados com os pontos A e B mais cada um dos outros 8 pontos, fáceis de serem enumerados para fins ilustrativos.

ABC, ABD, ABE, ABF, ABG, ABH, ABI, ABJ

Finalmente, a quantidade de triângulos não retângulos é dada pela diferença a seguir:

NR = T - R

NR = 120 - 8

NR = 112

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.