(EEAR CFS 1/2025) Se 200g de certo chocolate ocupa 125 cm³, então para
fazer um bombom sólido em formato de tetraedro regular de
6 cm de lado são necessários, aproximadamente, ________ g
desse chocolate. Considere √2 = 1,4.
a) 70
b) 60
c) 50
d) 40
Solução: questão de matemática da
EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica
CFS 1/2025. Prova aplicada em 14/07/2024.
Para resolver essa questão, precisamos saber qual é o volume de um tetraedro regular de aresta a = 6 cm.
Vamos denotar por V o volume do tetraedro regular de aresta a.
O tetraedro regular é uma pirâmide regular formada por 4 triângulos eqüiláteros. A seguir, vamos ilustrar um tetraedro regular com medidas importantes para nossos cálculos:
Como calcular a altura do tetraedro regular?
Em uma pirâmide regular, podemos calcular a altura h da pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo VOM.
g² = h² + m²
Um livro muito interessante sobre essa disciplina: Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R., & Giovanni Jr., J. R. (1994). Matemática Fundamental, 2º Grau - Volume Único. Editora FTD: São Paulo.
A seguir, vamos nos concentrar nas medidas aplicáveis ao tetraedro regular da questão.
- h é a altura tetraedro regular, é o que precisamos descobrir para depois encontrar o volume do tetraedro regular.
- g é a apótema da pirâmide, no caso do tetraedro regular, ela é igual a altura do triângulo eqüilátero VBC, sabemos que a altura do triângulo eqüilátero vale (a√3)/2, logo, temos que
g = (a√3)/2
- m é a apótema do polígono regular da base (apótema da base). No triângulo eqüilátero, sabemos que m vale 1/3 da altura do triangulo eqüilátero, ou seja,
m = (1/3)·[(a√3)/2]
m = (a√3)/6
Assim, vamos obter h usando o Teorema de Pitágoras.
g² = h² + m²
h² = [(a√3)/2]² - [(a√3)/6]²
h² = (3a²/4) - (3a²/36)
h² = (3a²/4) - (a²/12)
h² = (9a²/12) - (a²/12)
h² = 8a²/12
h² = 2a²/3
h = a√2/√3
A altura acima será mais útil para o cálculo do volume. Entretanto, também podemos racionalizar multiplicando por √3/√3
h = a√2/√3 · (√3/√3)
h = (a√6)/3 “essa é a expressão mais conhecida para a altura do tetraedro regular"
Como calcular o volume de um tetraedro regular?
Usamos a fórmula do volume de uma pirâmide.
V = (1/3)·Sb·h
Sabemos que a área da base Sb é a área do triângulo eqüilátero ABC de aresta a, logo Sb = (a²√3)/4 e vamos usar h = a√2/√3
V = (1/3) [(a²√3)/4] (a√2/√3)
V = (1/3) [(a²√3)/4] (a√2/√3)
V = (1/3) (a²/4) (a√2)
V = (1/12) (a³√2)
V = (a³√2)/12
Agora, para calcularmos o volume do tetraedro regular de 6 cm de lado, basta trocarmos a por 6 e também √2 por 1,4 na fórmula acima.
V = (6³·1,4)/12
V = (36·6·1,4)/12
V = 3·6·1,4
V = 18·1,4
V = 25,2 cm³
Agora, vamos resolver uma regra de três simples:
200/x = 125/25,2
25,2 · 200 = x · 125
5040 = x · 125
x = 5040/125
x ≈ 40
Alternativa correta é a letra d).
Como calcular a área total do tetraedro regular?
Nessa questão, não foi necessário conhecer a área total do tetraedro regular, entretanto, para fins de estudos, vamos encontrá-la também.
O cálculo da área total do tetraedro regular é um pouco mais tranquilo. Sabemos que o tetraedro regular de aresta a é formado por quatro triângulos equiláteros de aresta a. A fórmula da área do triângulo equilátero nós já conhecemos, vale (a²√3)/4. Para descobrir a área total do tetraedro regular, multiplicamos essa quantidade por quatro.
St = 4·(a²√3)/4
St = a²√3
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.
Um forte abraço e bons estudos.
