Questão de geometria cujo objetivo é minimizar a soma S das áreas de três quadrados.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UERJ.
Enunciado da Questão
Para formar três quadrados de lados iguais a 2 cm, 4 cm e 7 cm, podem ser utilizados exatamente 52 cm de arame. Desse modo, a soma S de suas áreas será igual a 69 cm².
Se as medidas dos lados escolhidos para formar os quadrados forem x, x e y, em centímetros, utilizando-se exatamente 52 cm de arame, a soma S de suas áreas, em cm², será igual a S = 2x² + y².
Neste caso, o menor valor possível de S ocorre se x for igual a:
| (A) | 13 |
| 3 |
| (B) | 13 |
| 2 |
| (C) | 11 |
| 3 |
| (D) | 11 |
| 2 |
Resolução Comentada
Um problema bem interessante que envolve geometria e função do segundo grau. É um estilo de questão que aparece com frequência em vestibulares. Ao final da resolução, confira também um problema similar do Vestibular UERJ de 2021 para praticar.
O quadrado de lado x tem perímetro igual a: x + x + x + x = 4x.
O quadrado de lado y tem perímetro igual a: y + y + y + y = 4y.
São dois quadrados de lado x e um quadrado de lado y, logo a soma P de todos esses perímetros vale:
P = 4x + 4x + 4y
P = 4(x + x + y)
P = 4(2x + y)
Este valor de P é igual a 52 cm.
4(2x + y) = 52
2x + y = 52/4
2x + y = 13
Vamos isolar y
y = 13 – 2x
A soma S das áreas desses quadrados vale x² + x² + y² = 2x² + y² (valor já informado no enunciado).
S = 2x² + y²
Na equação acima, vamos trocar o y por 13 – 2x.
S = 2x² + (13 – 2x)²
S = 2x² + 13² – 2·13·2x + (2x)²
S = 2x² + 169 – 52x + 4x²
S = 6x² – 52x + 169
Agora, o valor da soma S está em função de x. Esta função é do segundo grau, seu gráfico é uma parábola de concavidade voltada cima, isto porque seu coeficiente 'a', que vale 6, é um valor positivo. Neste caso, há um ponto de mínimo exatamente no vértice dessa parábola. A fórmula do Xv é:
| Xv = | –b |
| 2a |
Identificando os coeficientes:
a = 6
b = –52
Aplicando na fórmula:
Xv = –b/(2a) = 52/12 = 13/3
Resposta Correta
| (A) | 13 |
| 3 |
Pratique função do segundo grau e geometria com mais uma questão do Vestibular da UERJ
No Vestibular UERJ 2021, caiu uma questão que também abordava geometria e função do segundo grau. Naquela ocasião, o enunciado apresentava a seguinte figura:
O objetivo era maximizar o volume de uma calha no formato de um paralelepípedo retângulo. É um problema interessante para você aproveitar o ritmo e resolvê-la também.
➡️ UERJ 2021: questão de geometria e função do segundo grau de maximização de volume
Mais Questões da UERJ resolvidas
Para ampliar seus estudos, confira a relação completa com questões de matemática da UERJ resolvidas, cobrindo diversos temas de matemática.
➕ Explorar todas as questões resolvidas de matemática da UERJ
Um forte abraço e bons estudos.
