(UNICAMP 2019) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² - 4y +3 = 0 e a parábola de equação 3x² - y + 1 = 0. Essas duas curvas se interceptam em

(UNICAMP 2019) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² - 4y +3 = 0 e a parábola de equação 3x² - y + 1 = 0. Essas duas curvas se interceptam em 

a) um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro pontos.

Solução:  questão de geometria analítica do Vestibular UNICAMP 2019 onde teremos que descobrir a quantidade de pontos de interseção.  A parábola é y = 3x² +1.  Vamos aplicar este valor de y na equação de circunferência.

x² + y² - 4y +3 = 0

x² + (3x² +1)² - 4(3x² +1) +3 = 0

x² + (9x⁴ + 6x² + 1) - 12x² -4 + 3 = 0

x² + 9x⁴ + 6x² + 1 -12x² -1 = 0

9x⁴ - 5x² = 0

x²(9x² - 5) = 0

x² = 0 x=0

ou

9x² - 5 = 0 9x² = 5 x² = 5/9 x = ± (√5)/3

           

Encontramos 3 valores de x, são eles, { - (√5)/3 , 0 , (√5)/3} ao aplicarmos esses valores de x na parábola y = 3x² +1 encontraremos para cada valor de x, um valor de y associado, sendo assim, existem três pontos de interseção entre a parábola e a circunferência. Alternativa correta é a letra C.

Mesmo assim, vamos encontrar estes 3 pontos de interseção, aplicando os valores de x encontrados na parábola: y = 3x² +1.

Seja x = 0

y = 3.0²+1

y =1     Ponto ( 0,1 )

Seja x =  (√5)/3

y = 3. [(√5)/3]² +1

y = 3 . [5/9] + 1

y = 5/3+1

y = 8/3    Ponto (  (√5)/3  ;  8/3  )

Seja x =  - (√5)/3

y = 3. [-(√5)/3]² +1

y = 3 . [5/9] + 1

y = 5/3+1

y = 8/3    Ponto (  -(√5)/3  ;  8/3  )

Essas duas curvas se interceptam em 3 pontos. Alternativa correta é a letra C.

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Um forte abraço e bons estudos.