(Concurso: Agente de Polícia Federal. Banca Organizadora: CESPE UNB.  2012) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. 

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 

54) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. 

55) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. 

56) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%.

Solução:  questão de análise combinatória e probabilidade do concurso de Agente de Polícia Federal da PF2012.  A banca organizadora foi a CESPE/UNB (atual Cebraspe), neste tipo de questão precisamos julgar se as alternativas 54, 55 e 56 são certas ou erradas.

Item 54. O enunciado informa que: "formadas as equipes" ou seja, já estão selecionados os 5 integrantes.  Então podemos distribui-los nas 5 vagas do carro de 5x4x3x2x1 = 120 maneiras.  O Item 54 está certo.

Item 55.  Para compor as equipes usaremos a fórmula da combinação: C n,p = n! / p!(n-p)!

Universo:                2 delegados, 2 peritos, 2 escrivães e 4 agentes

Equipe formada:     1 delegado,  1 perito,   1 escrivão e 2 agentes

C2,1 x C2,1 x C2,1 x C4,2 = 2 x 2 x 2 x 6 = 48 maneiras. O Item 55 está errado.
 

Item 56.  Probabilidade é a quantidade de elementos do conjunto Evento Esperado (E) dividido pela quantidade de elementos do conjunto Universo (U): P=E/U.  Já calculamos E, no item anterior.

E = 48 = 24.3

U = quantidade de equipes de 5 policiais, formadas a partir de um conjunto de 10 policiais, sem restrição. Ou seja, U = C 10,5.

C 10,5 = 10! / 5!(10-5)! 

C 10,5 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5! 
                 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 5!

C 10,5 = 2 . 9 . 2 . 7  = 2² . 3² . 7

U = C 10,5 = 2² . 3² . 7

Finalmente, aplicando na fórmula da probabilidade: P = E/U

P =  24.3 / 2² . 3² . 7 = 2² / 3.7 = 4/21 ≅ 19%.  O Item 56 está errado.

Aproveite e continue praticando com as listas de exercícios resolvidos a seguir:

>> Lista de Exercícios de Análise Combinatória.

>> Lista de Exercícios de Probabilidade.

Um forte abraço e bons estudos.