(ENEM 2024) Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível. 

Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro? 

A) 85 B) 100 C) 175 D) 200 E) 350

Solução: uma questão interessante envolvendo problemas práticos de matemática (geometria e maximização) do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Esse é um tipo de questão muito comum nas provas do ENEM, que envolve as coordenadas do vértice da parábola.  Para facilitar a resolução passo a passo, primeiramente, vamos ilustrar um retângulo com lados de comprimentos L metro e C metro.

retângulo com lados de comprimentos L e C

Agora, vamos obter uma expressão para o valor que será gasto na compra da tela, para fazer isso, vamos multiplicar todas as medidas pelos seus respectivos preços.

L · 20 + L · 20 + C · 15 + C · 15
40L + 30C

Do enunciado:  "O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro".

Deste modo, vamos igualar:

40L + 30C = 6000

Podemos simplificar essa equação um pouco mais.

10(4L + 3C) = (600) · 10
10(4L + 3C) = (600) · 10
4L + 3C = 600

Na equação acima, vamos isolar L.

4L = 600 - 3C
L = (600-3C)/4
L = 150 - (3/4)C  "Equação I"

Nós sabemos que a área desse retângulo é a seguinte:

Área = L · C

Vamos substituir L por 150 - (3/4)C.  Fazendo isso, a área vai depender somente de C.

A(C) = [150 - (3/4)C] · C
A(C) = 150C - (3/4)C²

Podemos notar que o gráfico da área A(C) é uma parábola com concavidade voltada para baixo (formato de ∩), isto porque seu coeficiente a, que vale -3/4, é um valor negativo.  Deste modo, A(C) tem um ponto de máximo no vértice da parábola.  

Para facilitar a visualização e o entendimento:

A(C) = 150C - (3/4)C²

Trocando A(C) por y e também C por x, temos 

y = 150x - (3/4)x²


As coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv) podem ser encontradas por meio das fórmulas a seguir:

Xv = -b/2a 
Yv = -Δ/4a  onde  Δ = b² - 4ac

Neste problema, o que queremos encontrar é o valor de C que vai maximizar a área, ou seja, só precisamos calcular o Xv.  

Vamos identificar os coeficientes: 

a = -3/4
b = 150

Calculando Xv

Xv = -b/2a
Xv = -150/[2·(-3/4)]
Xv = -150/(-6/4)
Xv = 150/(3/2)
Xv = 150·(2/3)
Xv = 100

Assim, encontramos que quando C = 100, a área será máxima.  Vamos obter também o valor de L na equação I.

L = 150 - (3/4)C 
L = 150 - (3/4)·100
L = 150 - 75
L = 75

Encontramos assim que quando C = 100 e L = 75 a área será máxima.  Também é possível visualizar que neste caso, o total gasto na construção do galinheiro, em reais, será igual a 6000, ou seja, o valor  máximo que o fazendeiro quer gastar.

40L + 30C
40·75 + 30·100
3000 + 3000
6000  ✓

Portanto, a medida, em metro, do maior lado do galinheiro é igual a 100.

Alternativa correta é a letra (B).

Que tal praticar agora resolvendo mais uma questão do ENEM similar a esta?

Na prova do ENEM 2017, foi cobrada uma questão onde o objetivo era maximizar a área da base de um viveiro de lagostas, é uma questão interessante para você praticar agora e resolvê-la também. 

>> Link para a questão do ENEM sobre viveiros de lagostas.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.