(ENEM 2024) Um fazendeiro pretende construir um galinheiro
ocupando uma região plana de formato retangular, com
lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão
cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de
comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro
linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados,
uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no
máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária
para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior
área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
A) 85
B) 100
C) 175
D) 200
E) 350
Solução: uma questão interessante envolvendo problemas práticos de matemática (geometria e maximização) do ENEM 2024, prova aplicada em 10/11/2024.
Esse é um tipo de questão muito comum nas provas do ENEM, que envolve as coordenadas do vértice da parábola. Para facilitar a resolução passo a passo, primeiramente, vamos ilustrar um retângulo
com lados de comprimentos L metro e C metro.
Agora, vamos obter uma expressão para o valor que será gasto na compra da tela, para fazer isso, vamos multiplicar todas as medidas pelos seus respectivos preços.
L · 20 + L · 20 + C · 15 + C · 15
40L + 30C
Do enunciado: "O fazendeiro quer gastar, no
máximo, R$ 6000,00 na compra de toda a tela necessária
para o galinheiro".
Deste modo, vamos igualar:
40L + 30C = 6000
Podemos simplificar essa equação um pouco mais.
10(4L + 3C) = (600) · 10
10(4L + 3C) = (600) · 10
4L + 3C = 600
Na equação acima, vamos isolar L.
4L = 600 - 3C
L = (600-3C)/4
L = 150 - (3/4)C "Equação I"
Nós sabemos que a área desse retângulo é a seguinte:
Área = L · C
Vamos substituir L por 150 - (3/4)C. Fazendo isso, a área vai depender somente de C.
A(C) = [150 - (3/4)C] · C
A(C) = 150C - (3/4)C²
Podemos notar que o gráfico da área A(C) é uma parábola com concavidade voltada para baixo (formato de ∩), isto porque seu coeficiente a, que vale -3/4, é um valor negativo. Deste modo, A(C) tem um ponto de máximo no vértice da parábola.
Para facilitar a visualização e o entendimento:
A(C) = 150C - (3/4)C²
Trocando A(C) por y e também C por x, temos
y = 150x - (3/4)x²
As coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv) podem ser encontradas por meio das fórmulas a seguir:
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a onde Δ = b² - 4ac
Neste problema, o que queremos encontrar é o valor de C que vai maximizar a área, ou seja, só precisamos calcular o Xv.
Vamos identificar os coeficientes:
a = -3/4
b = 150
Calculando Xv
Xv = -b/2a
Xv = -150/[2·(-3/4)]
Xv = -150/(-6/4)
Xv = 150/(3/2)
Xv = 150·(2/3)
Xv = 100
Assim, encontramos que quando C = 100, a área será máxima. Vamos obter também o valor de L na equação I.
L = 150 - (3/4)C
L = 150 - (3/4)·100
L = 150 - 75
L = 75
Encontramos assim que quando C = 100 e L = 75 a área será máxima. Também é possível visualizar que neste caso, o total gasto na construção do galinheiro, em reais, será igual a 6000, ou seja, o valor máximo que o fazendeiro quer gastar.
40L + 30C
40·75 + 30·100
3000 + 3000
6000 ✓
Portanto, a medida, em metro, do maior lado do galinheiro é igual a 100.
Alternativa correta é a letra (B).
