Questão de Geometria Analítica em um jogo digital com três personagens: um herói e dois vilões.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM.
Enunciado da Questão
Em um jogo digital, há três personagens: um herói e dois vilões. A programação é feita de tal forma que o herói sempre será atacado pelo vilão que estiver mais próximo dele. Uma das maneiras de “confundir” os vilões é movimentar o herói por trajetórias que o mantenha equidistante dos vilões, gerando indefinição entre eles e, com isso, não sendo atacado.
Para a programação de uma das etapas desse jogo, o programador considerou, no plano cartesiano, o quadrado STUV como a região de movimentação dos personagens, onde V e T representam as posições fixas dos vilões, e S, a posição inicial do herói, como apresentado na figura.
Qual é a equação da trajetória em que o herói poderá se movimentar sem ser atacado?
(A) y = −3x + 20;
(B) y = −3x + 16;
(C) y = −3x − 20;
(D) y = 3x + 16;
(E) y = 3x − 16;
Resolução Comentada
Uma questão de matemática que traz uma contextualização interessante e aborda vários assuntos da geometria. Neste problema, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, geometria plana, e também a tangente da soma de dois ângulos. Em primeiro lugar, vamos encontrar a resposta correta fazendo poucas contas, apenas usando conceitos e eliminando alternativas.
Um vilão está no ponto T e o outro está no ponto V, o segmento TV é uma diagonal do quadrado STUV. O herói está posicionado em S, para não ser atacado, precisa se mover pela diagonal SU pelos seguintes motivos:
💡 As duas diagonais de um quadrado são perpendiculares e se interceptam em seus respectivos pontos médios.
💡 A reta mediatriz do segmento de reta TV é perpendicular a este segmento e passa exatamente pelo ponto médio de TV. Nesta reta mediatriz, todos os pontos são equidistantes de T e V, assim, se o herói estiver sobre essa reta, ele estará sempre a uma mesma distância dos dois vilões.
💡 A diagonal SU do quadrado é um segmento de reta contido na reta mediatriz do segmento de reta TV.
A ilustração a seguir, nos permite visualizar alguns elementos dessa análise, sendo M o ponto médio de TV e também o ponto médio de SU.
Assim, podemos concluir que a reta mediatriz do segmento de reta TV passa pelos pontos S e U, o que nos possibilita eliminar várias alternativas.
Seja y = ax + b a equação dessa reta mediatriz, já podemos notar, pela análise da figura, que essa reta será decrescente e tocará o eixo y em um valor positivo. 💡 Assim, o coeficiente a é negativo e o coeficiente b é positivo. Isso nos permite eliminar as alternativas (C), (D), (E). O que facilita bastante o nosso trabalho a partir de agora, pois só nos restam as duas opções a seguir:
(A) y = −3x + 20;
(B) y = −3x + 16;
São duas retas paralelas, pois ambas possuem coeficiente a = −3, além disso, elas possuem diferentes valores para o coeficiente b. 💡 Neste caso, somente uma delas passa pelo ponto S(6;2), onde está posicionado o herói do jogo.
Até agora, ainda não fizemos conta, somente utilizamos conceitos da geometria analítica e da geometria plana para eliminarmos alternativas. Finalmente, podemos testar o ponto S(6;2) nas duas retas. Nos dois casos, é só multiplicar 6 por -3 (o resultado é -18) e depois somar ao coeficiente b. Precisamos ver onde encontraremos y = 2. É um cálculo que com a prática você se acostuma a fazer mentalmente, mas que vamos fazer passo a passo a seguir:
(A) y = −3x + 20 = −3·6 + 20 = −18 + 20 = 2 ✅
(B) y = −3x + 16 = −3·6 + 16 = −18 + 16 = -2 ❌
Resposta Correta
(A) y = −3x + 20;
Exercício: obter essa equação de reta utilizando a tangente da soma de dois ângulos
A análise do problema nos permitiu concluir que precisamos da equação da reta que passa por S e U. Já temos as coordenadas de S(6;2), porém não temos as coordenadas de U. Se tivermos o coeficiente angular (m = tg α) dessa reta, podemos usá-lo, junto com as coordenadas de S na equação fundamental da reta. Ainda não temos esse coeficiente angular, mas podemos encontrá-lo analisando o seguinte:
A diagonal SU desse quadrado e o lado SV formam um ângulo de 45 graus. Neste caso, α = β + 45°, e para obter o coeficiente angular m, nós podemos usar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos.
m = tg (α) = tg (β+45°) = [tg(β) + tg(45°)] / [1 − tg(β)·tg(45°)]
➡️tg(45°) = 1 ;
➡️tg(β) = (6 − 2) / (8 − 6) = 4/2 = 2 ;
m = tgα = tg(β+45°) = (2 + 1) / (1 − 2 · 1)
m = 3 / (1 − 2)
m = 3 / − 1
m = −3 ✅
Finalmente, podemos utilizar a equação fundamental da reta para obter a equação da reta mediatriz do segmento de reta TV.
y – y0 = m ( x – x0)
Aplicamos m = −3 e (x0 , y0) = (6;2) nessa equação.
y – 2 = −3 (x – 6)
y – 2 = −3x + 18
y = −3x + 18 + 2
y = −3x + 20
🏃➡️ Pratique com mais uma questão do ENEM sobre equação da reta mediatriz de um segmento de reta
Em 2019, o ENEM cobrou uma questão de geometria analítica similar a esta. Naquela ocasião, em vez de dois vilões, eram duas câmeras e havia a necessidade de posicionar uma terceira câmera de modo que esta ficasse equidistante das demais. É um problema interessante de geometria analítica para você aproveitar o embalo e praticar esse assunto tão importante da matemática.
➡️ ENEM 2019: questão de geometria analítica sobre equação da reta mediatriz de um segmento de reta
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Um forte abraço e bons estudos.
