(Professor Docente I - Matemática - 2015 - Banca CEPERJ)  A figura abaixo representa, no sistema de eixos cartesianos xoy, uma elipse de equação 16x² + 25y² = 400 e um triângulo AFG, retângulo em F. Se AB é a medida do eixo maior dessa elipse e o ponto F um de seus focos, a área do triângulo AFG equivale a: a) 8,0 b) 9,6 c) 12,8 d) 16,4 e) 20,0 Solução: questão sobre cônicas - elipses do último concurso para professor de matemática do Estado do RJ.  As fórmulas desta elipse são x²/a² + y²/b² = 1     c² = a² - b²   c é a distância focal A partir desta equação inicial dada 16x² + 25y² = 400 podemos dividir ambos os lados da equação por 400, mantendo assim a igualdade. (16x² + 25y² ) / 400 = 400 / 400 16/400 x² + 25/400 y² = 1 x² /25 + y² / 16 = 1 Temos que a² = 25 e b² = 16 a =  ± 5  e b = ± 4 Podemos agora encontrar a distância focal c² = 25 - 16 = 9 c = ± 3 Por último, precisamos...

(ENEM 2016)  A London Eye é uma enorme roda-gigante na capital inglesa.  Por ser um dos monumentos construídos para celebrar a entrada do terceiro milênio, ela também é conhecida como Roda do Milênio.  Um turista brasileiro, em visita à Inglaterra, perguntou a um londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés.  Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer sua curiosidade, esse turista consultou um manual de unidades de medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm.  Após alguns cálculos de conversão, o turista ficou surpreendido com o resultado obtido em metros. Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda do Milênio, em metro? a) 53 b) 94 c) 113  d) 135  e) 145 Solução:  como a medida é de 443 pés, então teremos 443 x 12 x 2,54 cm = 13.502 cm  ou 135,02 metros. [alternativa correta é a letra D] Confira mais questões...

(ENEM 2016) Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4h da tarde, um organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante.  Para cada 2000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado.  Às 10 h da manhã, o organizador verifica que a área do terreno já ocupada equivale a um quadrado com lados medindo 500m.  Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir a segurança? a) 360  b) 485  c) 560  d) 740  e) 860 Solução:  questão interessante onde precisaremos utilizar regra de três e área do quadrado durante os cálculos.  Vamos a eles: 2000 espectadores - 1 policial 4 pessoas...

(EsPCEx - 2018) Uma hipérbole tem focos F1 (-5,0) e F2 (5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0.  O triângulo com vértices em F1, P e Q tem área igual a Solução:  questão interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército sobre Cônicas.  Usaremos as seguintes fórmulas da Hipérbole. Equação Reduzida da Hipérbole        x² / a²  -  y² / b²  = 1   E a distância focal (c)                         c² = a² + b² Imagem de Toppr.com no artigo Equation of Hyperbola Do enunciado temos que c = 5, logo  25 = a² + b² Sabemos que o ponto P(3,0) está contido na hipérbole, logo, podemos inseri-lo na equação reduzida. 3² / a²  -  0² / b²  = 1 9/a² = 1 a² = 9 Finalmente acharemos b² por meio da relação 25 = a² + b² 25 = 9 + b² b² = 16 Então a equação da hipérbole é  x² / 9  -...

(Concurso Professor de Matemática Prefeitura de Maricá - Banca Coseac UFF - 2018)  Considere a função f(x) = sen (2x) / cotg x .   Existe um número finito de valores distintos de x no domíno de f e no intervalo [0,2π] que satisfazem à condição f(x) = 1/2.  A quantidade desses valores é igual a: a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4 Solução:  questão interessante que envolve identidades trigonométricas e funções trigonométricas.  Vamos resolvê-la passo a passo. Com as seguintes identidades trigonométricas, podemos simplificar a função trigonométrica inicial sen 2x = 2 . sen x . cos x 1/cotgx = tgx = sen x / cosx f(x) = 2 . sen x . cos x . (senx/cosx) f(x) = 2 sen²x f(x) = 1/2 é a condição dada pela questão. 1/2 = 2 sen²x sen²x = 1/4 sen x =  ± 1/2 No ciclo trigonométrico, em uma volta completa de 0 até 2π, temos os seguintes valores para x. sen x = + 1/2  ( x = 30º e x = 150º) sen x =  - 1/2  ( x = 210º e x = 330º) ...

(ENEM 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima.  Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos.  A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E o uma constante real positiva. Considere que E 1  e E 2  representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. Disponível em: www.terra.com.br  Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado) Qual a relação entre E1 e E2? Solução: questão interessante sobre equações logarítmicas.  Vamos a resolução deste exercício passo a passo: M = 2/3 log ( E / E0) 3/2 M = log ( E/E0)  Podemos colocar 10 como base dos dois lados da equação e manteremos a igualdade 10 3/2 M ...

(ENEM 2016) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional ( como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado.  O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno de forma retangular (como mostrado na figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura. Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a a) 7,5 e 14,5 b) 9,0 e 16,0 c) 9,3 e 16,3 d) 10,0 e 17,0 e) 13,5 e 20,5 Resolução:    questão de geometria onde precisamos calcular áreas de figuras geométricas.  Sabemos do enunciado da questão que as áreas de A e B são iguais.  Se encontrarmos a área em B, des...

(ENEM 2016) Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro durante 24 h.  Cada frasco tem um volume de 800 mL de soro.  Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do total a ser aplicado.  Cada mililitro de soro corresponde a 12 gotas. O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras horas será: a) 16  b) 20  c) 24  d)  34  e) 40 Solução: questão interessante de uma aplicação prática da matemática para futuros profissionais de saúde.  Na minha opinião, esse tipo de questão, onde há uma aplicação real do nosso cotidiano, é o melhor que existe.  Nela vamos usar o conceito de porcentagem e regra de três simples . Durante 24 horas ele receberá 5 x 800 mL de soro, ou seja, receberá 4.000 mL de soro. Porém, serão 40% desse total nas primeiras 4 horas, e depois 60% nas próximas 20 horas. Ou seja, 40% de 4000 ml = 1600 ml e depois, nas pr...

(ENEM 2016) Uma pessoa comercializa picolés.  No segundo dia de certo evento ela comprou 4 caixas de picolés, pagando R$ 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento.  No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade de picolés, pagando a mesma quantia, e obtendo um lucro de R$ 40,00 ( obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o de compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia, deve ser a) R$ 0,96  b) R$ 1,00  c) R$ 1,40  d) R$ 1,50  e) R$1,56 Solução:   No primeiro dia, assim como no segundo, foram compradas 4 caixas com 20 picolés cada uma, o que re...

(ENEM 2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura.  O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³.  Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento. Utilize 3 como aproximação para π. O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é a) 6  b)  16  c) 17  d) 18  e) 21 Solução: questão bem interessante do ENEM com uma aplicação real sobre o volume de sólidos geométricos.  Para calcularmos o volume total do silo, precisamos somar o volume do cilindro mais o volume do cone. Volume Total = Volume do Cilindro + Volume do Cone = Área da Base x altura + 1/3 x Área da Base x altura = π r² h cilindr...

(Banca FGV/ Concurso: BANESTES - 2018 - Cargo Técnico Bancário)   Um empréstimo deverá ser quitado em 6 prestações mensais iguais de R$ 670,00, segundo o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com a primeira prestação vencendo um mês após a contratação.   A taxa de juros nominal é de 60% ao ano, com capitalização mensal. O saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª prestação será: Dado: 1,05 6  = 1,34 a) R$ 2.900,00 b) R$ 2.830,00 c) R$ 2.800,00 d) R$ 2.730,00 e) R$ 2.700,00 Solução:   questão de matemática financeira sobre Sistema Price onde teremos que aplicar a fórmula S = R [ (1+i) n  - 1 ] / [ i.  (1+i) n  ] S = 670 [ (1,05) 6  -1 ] / [0,05. (1,05) 6  ] S = 670 [ 1,34 -1 ]  / [0,05 . 1,34] S = 670 [ 0,34 ] / [0,067] S = 670 [ 34 x 10 -2 ] / [ 670 x 10 -4  ] S = 34 x 10 -2 - (-4) S = 3400 O valor do empréstimo é de R$ 3.400.  Agora precisamos calcular o ...

(BANESTES/2018 - Técnico Bancário)  Para adquirir um carro, Gabriel financiou o valor de R$ 36.000,00 a ser quitado em 120 prestações mensais e consecutivas.  A primeira prestação, no valor de R$ 1.308,00, venceu um mês após a contratação do financiamento. Se o sistema adotado foi o de Amortizações Constantes (SAC), a taxa de juros mensal efetiva aplicada a essa transação é: a) 3,0% b) 2,8% c) 2,7% d) 2,5% e) 2,4% Solução:   no sistema SAC, Sistema de Amortizações Constantes, a amortização será igual a: (valor do empréstimo) / (número de parcelas) R$ 36 000,00 / 120  R$ 300,00 Ao final do primeiro mês, Gabriel pagará a primeira prestação de  R$ 1.308,00 que é composta por  R$ 300,00 (amortização) mais juros sobre o saldo devedor de R$ 36.000,00.   Vamos denotar por i a taxa de juros mensal. 300 + 36000 i = 1308 36000 i = 1308 - 300 36000 i = 1008 i = 1008 / 36000 i =  0,028 i = 2,8% Alternativa correta é a letra b). C...

(Banca FGV/ Concurso: BANESTES - 2018 - Cargo Técnico Bancário) Uma duplicata tem valor nominal de R$ 4.000,00 e vencerá daqui a dois meses.  Se ela for descontada hoje pelas regras do desconto comercial composto, à taxa de desconto de 10% ao mês, o valor descontado será: a) R$ 760,00 b) R$ 800,00 c) R$ 2.400,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 3.240,00 Solução:  questão da disciplina Matemática Financeira do concurso do Banestes de 2018 para Técnico Bancário, envolvendo os tipos de descontos. Precisamos aplicar a fórmula do desconto comercial composto: VD = VF (1-i) n VD = 4000 ( 1-0,10)² VD = 4000 ( 0,9)² VD = 4000 ( 0,81) = R$ 3.240,00  ( alternativa correta é a letra E ) Confira mais  questões de matemática financeira do Concurso do BANESTES 2018. Forte abraço e bons estudos.

(BANESTES/2018 - Técnico Bancário) Maria comprou duas bicicletas iguais, pagando R$ 360,00 em cada uma delas.  Algum tempo depois, vendeu ambas:  uma com lucro de 10% sobre o preço de venda e a outra com 15% de prejuízo sobre o preço de compra.  Nessa transação de compra e venda das bicicletas, Maria: a) teve lucro de aproximadamente 2% b) teve lucro de exatamente 5% c) não teve lucro e nem prejuízo d) teve prejuízo de exatamente 5% e) teve prejuízo de aproximadamente 2% Solução:   Este é um exemplo que recomendo fazer por meio de uma tabela.  Vejamos A alternativa correta é a letra E, obteve um prejuízo de aproximadamente 2%. Observação:  veja que a célula em amarelo pode gerar um pouco de dúvidas, o comando da questão é: "uma com lucro de 10% sobre o preço de venda", neste caso, precisamos ter em mente que: Sejam PV = Preço de Venda e L = Lucro PV - 360 = L L = 0,10 * PV Então, PV - 360 = 0,10 PV (1 - 0,10) PV = 360 0,90 PV ...

(Banca FGV/ Concurso: BANESTES - 2018 - Cargo Técnico Bancário)   Um capital de R$ 2.662,00 é capitalizado sob regime de juros compostos, ao longo de 4 meses, à taxa efetiva de 10% ao mês, produzindo um montante M. Para que  R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições durante um período igual a: a) 8 meses b) 7 meses   c) 6 meses d) 4 meses e) 3 meses Solução:   neste exercício usaremos a fórmula dos juros compostos    M = C ( 1 + i )  n M = 2662 ( 1 + 0,10 )   4 M = 2662 ( 1,10)   4 E já no segundo caso a ideia é capitalizar 2000 por n períodos e chegar no mesmo M da outra aplicação, então M = 2000 (1,10) n Logo podemos igualar os dois montantes M = 2662 ( 1,10)   4 M = 2000 (1,10)  n 2662 ( 1,10) 4  = 2000 (1,10)  n (1,10)  n  /(1,10)  4  = 2662 /2000     Neste ponto utilizaremos uma da...

(Banca FGV/ Concurso: BANESTES - 2018 - Cargo Técnico Bancário) -  Um título de valor nominal igual a R$ 12.000,0 sofre desconto comercial simples dois meses antes do seu vencimento.  Se a taxa de desconto é de 54% ao ano, o valor líquido recebido nessa operação corresponde a: a) R$ 1.080,00 b) R$ 2.160,00 c) R$ 5.520,00 d) R$ 10.920,00 e) R$ 11.460,00 Solução: Neste caso, basta aplicar a fórmula do desconto comercial simples VD = VF ( 1  -  i * n ) VD = Valor Descontado VF = Valor de Face (Valor Nominal) i = taxa n = número de períodos VD = 12.000,00 ( 1 - (0,54/12)*2 ) = 10.920,00 [ alternativa correta é a letra d ] Confira mais questões de matemática financeira do Concurso do BANESTES 2018. Forte abraço e bons estudos.

(ESA 2019) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m².  Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC.  Nessas condições, a área em m² do triângulo ABC mede: Solução: questão interessante da Escola de Sargentos das Armas de 2019 de geometria plana sobre inscrição e circunscrição.  Vamos desenhar a questão para uma melhor visualização. Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas em um triângulo retângulo. tg 60º = √3/x √3 = √3/x x = 1 Desse modo, o lado deste triângulo equilátero será igual a  L = 2 + √3 Agora basta calcularmos a área do triângulo.   Área = L x L x sen 60º x 1/2  (2 + √3)² x (√3/2) x (1/2) (4 + 2.2.√3 + 3) x (√3/4) (7 + 4√3) x (√3/4) (7√3 + 12)/4   [alternativa correta é letra E] Aproveite e continue estudando com mais  questões de matemática da ESA .  Um forte abraço e...

(ENEM 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces.  Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm.  Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces. Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a Solução:  questão interessante do ENEM 2017 sobre  geometria espacial.  Podemos notar que o valor de h será igual ao Raio da esfera (5 cm) menos o segmento OA da figura. h = 5 - OA O segmento OA pode ser calculado pelo teorema de pitágoras, já que OAB forma um triângulo retângulo. x...

(ENEM 2017) Uma bicicleta do tipo mountain bike tem uma coroa com 3 engrenagens e uma catraca com 3 engrenagens, que, combinadas entre si, determinam 18 marchas (número de engrenagens da coroa vezes o número de engrenagens da catraca). Os números de dentes das engrenagens das coroas e das catracas dessa bicicleta estão listados no quadro. Sabe-se que o número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada pedalada é calculado dividindo-se a quantidade de dentes da coroa pela quantidade de dentes da catraca. Durante um passeio em uma bicicleta desse tipo, deseja-se fazer um percurso o mais devagar possível, escolhendo-se, para isso, uma das seguintes combinações de engrenagens (coroa x catraca): A combinação escolhida para realizar esse passeio da forma desejada é a) I b) II c) III d) IV e) V Solução:   questão interessante do ENEM onde o objetivo é a bicicleta fazer o percurso o mais devagar possível e, para tanto, busca-se a engrenagem onde a cad...

(ENEM 2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1. Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1 foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2. Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é a) 0 b) 1/2 c) 1/5 d) 2/15 e) 8/35 Solução:   questão do ENEM 2017 onde basta aplicar o comando da questão e realizar os cálculos. B1/A1 - B2/A2 30/70 - 10/50 3/7 - 1/5 (5.3 - 7.1)/35 (15-7)/35 8/35 Alternativa correta é a letra E. Confira mais Exercícios Resolvidos de Matemática ENEM 2018 . Um forte abraço e bons estudos!

(ENEM 2017) Quanto tempo você fica conectado à internet? Para responder a essa pergunta foi criado um miniaplicativo de computador que roda na área de trabalho, para gerar automaticamente um gráfico de setores, mapeando o tempo que uma pessoa acessa cinco sites visitados.  Em um computador, foi observado que houve um aumento significativo do tempo de acesso da sexta-feira para o sábado, nos cinco sites mais acessados.  A seguir, temos os dados do miniaplicativo para esses dias. Analisando os gráficos do computador, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira para o sábado, foi no site. a)  X b) Y c) Z d) W e) U Solução: questão sobre porcentagem do ENEM 2017 um pouco trabalhosa, já que precisaremos calcular os aumentos percentuais no tempo de acesso de 5 sites e ver qual deles teve o maior aumento.  Para facilitar os cálculos vamos tentar eliminar aqueles que visualmente já demonstrem baixíssimo crescimento percentual ou que sejam nitid...

(ENEM 2017) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P (t) = A + B cos (kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo.  Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. Ao analisar um caso específico, o cientista obteve dos dados: A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi a) P(t) = 99 + 21 cos (3πt) b) P(t) = 78 + 42 cos (3πt) c) P(t) = 99 + 21 cos (2πt) d) P(t) = 99 + 21 cos (t) e) P(t) = 78 + 42 cos(t) Solução:   questão interessante do ENEM que envolve as funções trigonométricas.  Esse tipo de função como a  P (t) = A + B cos (kt) representa um ciclo de repetições com máximos e mínimos em função do cosseno que varia entre +1 e -1. Podemos fazer o seguinte esboço da função para nos ajudar a interpretá-la. Do esboço podemos visu...