O edital da ESA 2020 foi publicado com uma oferta de 1.100 vagas para quem possui nível médio. Aproveite e confira uma lista com 10 questões de matemática de provas anteriores para se preparar para o concurso da ESA 2020.  As questões de matemática são provenientes dos exames recentes da ESA 2019, ESA 2018 e ESA 2017. Bons estudos e sucesso na sua prova. 1 - (ESA 2018) Em uma escola com 180 estudantes, sabe-se que todos os estudantes leem pelo menos um livro. Foi feita uma pesquisa e ficou apurado que: 50 alunos leem somente o livro A; 30 alunos leem somente o livro B; 40 alunos leem somente o livro C; 25 alunos leem os livros A e C; 40 alunos leem os livros A e B; 25 alunos leem os livros B e C. Logo, a quantidade de alunos que leem os livros A, B e C é: Link para solução. 2 -  (ESA - 2017) Os valores de k de modo que o valor mínimo da função f(x) = x² + (2k - 1)x + 1 seja  -3  são: Link para Solução 3 - (ESA 2019) Uma pequena praça ...

(ENEM 2019)  As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura. Essa luminária terá por faces A) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. B) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. C) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. D) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles. E) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros. Solução:  questão interessante e muito interpretativa sobre sólidos geométricos. A grosso modo o tetraedro é a "pirâmide de base triangular".  Se o tetraedro é dito regular, significa que ele possui todos os lados valendo "a" e que seus ângulos internos ...

Caro estudante, Para quem se prepara na disciplina de Matemática Financeira do concurso de Professor de Matemática da Prefeitura de Iguaba Grande, município do interior do Estado do RJ na Região dos Lagos, compartilho uma lista de exercícios resolvidos sobre os tópicos abordados no Edital.  A banca examinadora será o IBDO, que ano passado, aplicou a prova de professores do município de Silva Jardim. Ao final desta lista de exercícios temos uma questão da própria banca IBDO sobre taxa nominal e equivalente do último concurso para Fiscal de Tributos do Município de Silva Jardim em 2017. Página oficial deste concurso, que inclui edital e inscrições, encontra-se neste link:  Concurso Prefeitura Iguaba Grande.  Iguaba Grande: Imagem de Wikipedia Para professor de matemática, os tópicos de matemática financeira cobrados no edital são: 1) Juros Simples: Cálculo do montante e do Principal 2) Equivalência de capitais a juros simples 3) Juros Composto...

(CESGRANRIO / Banco da Amazônia – 2018) Um valor inicial Co foi capitalizado por meio da incidência de juros compostos mensais constantes iguais a 6,09%.  Ao final de 6 meses, isto é, após 6 incidências dos juros, gerou-se o montante M. A partir do valor inicial Co, seria alcançado o mesmo montante M ao final de 12 meses (12 incidências), se os juros compostos mensais constantes tivessem sido iguais a a) 1,045%  b)  1,450%  c) 3,045%   d) 3,450%   e) 3,000% Solução:  questão muito interessante de matemática financeira sobre taxas equivalentes em períodos quaisquer.  Utilizaremos um pouco das regras de exponenciação e radiciação neste tipo de solução. A fórmula do Montante nos Juros Compostos é uma equação exponencial dada por: M = C ( 1+i) t Caso 1 -  Co é aplicado a uma taxa de 6,09% ao mês por 6 meses e dá um montante M. M = Co ( 1+0,0609 ) 6 M = Co ( 1,0609 ) 6 Caso 2 - Co é aplicado a uma taxa i mensal por 1...

Exercício Resolvido sobre equivalência de capitais a juros simples. Em uma aplicação de juros simples, com uma taxa de 1% ao mês, um capital de R$ 1.000,00 produz em 10 meses um montante M.  Para produzir este mesmo montante, a uma taxa de 2% ao mês em 10 meses, qual capital deverá ser aplicado? Solução: podemos calcular o montante M por meio da fórmula dos juros simples:  M = C ( 1 + it) M = 1000 ( 1 + 0,01 . 10) M = 1000 ( 1 + 0,1) M = 1000 ( 1,1) M = 1.100 Agora, temos que calcular qual é o capital C, que gera um montante M de R$ 1.100,00 a uma taxa de 2% ao mês em 10 meses sob regime de juros simples. M = C ( 1 + it) 1100 = C ( 1 + 0,02 . 10) 1100 = C ( 1 + 0,2) 1100 = C ( 1,2) C = 1100 / 1,2 C = 916,666... Resumindo:  >> Ao aplicar R$ 1.000,00 sob regime de juros simples com taxa de 1% ao mês por 10 meses o montante ao final do período será R$ 1.100,00. >> Ao aplicar R$ 916,666... sob regime de juros simples c...

Caro estudante, Selecionamos uma lista de exercícios sobre polinômios, funções e equações polinomiais para você que se prepara para concursos públicos ou carreiras militares deste ano. Recomendo reservar um tempo para resolver todos eles e depois conferir o gabarito com a resolução comentada.  Desejo sucesso nos estudos e espero que estas questões resolvidas sobre polinômios te ajudem em sua jornada. 1 -  (Vestibular CEDERJ 2019.2) Se m e n são números reais tais que o polinômio p(x) = x³ - x² + mx + n é divisível por x² + 1, então m - n é igual a a) 0 b) 1 c) -2 d) 2 Link para a solução desta questão 2 -  (EsPCEx 2019) Dividindo-se o polinômio P(x) = 2x 4 - 5x 3 + kx - 1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a [A] 10.    [B] 9.    [C] 8.    [D] 7.    [E] 6. Link para a solução desta questão 3 - (EsPCEx - 2018) Sabendo que o número comple...

(Concurso: Professor de Matemática - Rio das Ostras - RJ. Banca: IBAM.   Ano:  2019)    Dividindo-se o polinômio 2x³ + kx² - x - 7  por (2x-4), obtém-se resto 11.  O valor de k é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução: questão muito interessante da última prova para professor de matemática do município de Rio das Ostras, no interior do Estado do RJ.  Esse concurso para docentes foi organizado pela banca IBAM. Nesta questão, os temas cobrados são divisão de polinômios e o teorema do resto.  Podemos resolvê-la de duas formas: Método 1 - Pelo Teorema do Resto (mais prático) Método 2 - Método "braçal" de dividir um polinômio pelo outro Vamos deixar resolvido aqui pelas duas formas para que você visualize a diferença. Método 1 - Teorema do Resto Ao dividir p(x) = 2x³ + kx² - x - 7   por    q(x) = (2x-4) obteremos resto 11.  Então, P [ raiz de q(x) ] = 11 A raiz de q(x) é 2, isso porque: 2x-4 = 0 2x = 4 x = 2...

Caro estudante, Selecionamos uma lista de exercícios sobre o conjunto dos números complexos para você que se prepara para concursos públicos ou carreiras militares deste ano. Recomendo reservar um tempo para resolver todos eles e depois conferir o gabarito com a resolução comentada.   Os exercícios sobre números complexos abordam:  >>> Soma, produto e divisão de números complexos;  >>> Potenciação e radiciação com números complexos;  >>> O plano de Argand-Gauss;  >>> Fórmula de Moivre;  >>> Forma trigonométrica ou polar de um número complexo;  >>> Módulo e Argumento de um número complexo;  >>> Raízes Complexas em equações polinomiais.   Desejo sucesso nos estudos e espero que estas questões resolvidas sobre o conjunto dos números complexos te ajudem em sua jornada. 1 -  (ESA 2014) O número complexo i 102 , onde i representa a unidade imaginári...

Seja z = i  (sendo i a unidade imaginária) a) calcule z 10  ;  z 10   =  i 10  = i².i².i².i².i² = -1.-1.-1.-1.-1 = -1 b) calcule z 10   utilizando a fórmula de Moivre. Todo número complexo z = a + bi pode ser escrito em sua forma trigonométrica ou polar. Em nosso caso, z = 0 + 1i Plano de Argand-Gauss  (também conhecido de Plano Complexo) A forma trigonométrica de um número complexo é z = |z| . (cos θ + i sen θ )  Podemos transformar o número complexo z= i em z  =  1 . (cos 90° + i sen 90º) A fórmula de Moivre para o cálculo de potenciação é z n = |z| n . (cos nθ + i sen nθ ) Calcular z 10   pela fórmula de Moivre Sendo z  =  1 . (cos 90° + i sen 90º) z 10  = 1 10   .(cos 10 . 90° + i sen 10 . 90°) z 10  = 1  .(cos  900° + i sen 900°) 900° = 2 . 360° + 180° cos 900° = cos 180° = -1 sen 900° = sen 180° =  ...

(EsPCEx - 2017) Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0). O polígono regular cujos vértices são os afixos de 4 √E é [A] BEHK.      [B] CFIL. [C] ADGJ. [D] BDHJ. [E] CEIK. Solução:  neste exercício precisamos obter a raiz quarta de um número complexo.  A fórmula de Moivre e o embasamento teórico sobre raízes de números complexos pode ser consultada  no link a seguir do portal wikiciencias.casadasciencias.org/: >>>  Raízes de Números Complexos Continuando na resolução, como os pontos dividem a circunferência em 12 partes iguais, então o ângulo entre eles é de 30°.  Isso porque a circunferência possui 360° e ao ser dividida em 12 partes iguais, cada parte terá 360°/12 = 30°. Podemos visualizar que E está em 120° neste plano de Argand-Gauss....

(ESA 2019)  Para que z = (5+i) / (a - 2i) seja um imaginário puro, o valor de  a  deve ser: a) 2/5 b) -2/5 c) 0 d) 10 e) -10 Solução:   A divisão entre dois números complexos z1 e z2 é feita da seguinte forma: Vamos resolver z = (5+i) / (a - 2i) O objetivo da questão é que este número complexo seja imaginário puro, ou seja, tenha a forma z = 0 + bi Então, (5a-2)/(a²+4) = 0 5a-2 = 0   e   a²+4 tem que ser diferente de 0, que será a condição de existência.  Repare que a² + 4 é sempre diferente de zero para qualquer valor real atribuído a variável "a" . Finalmente, só precisamos resolver: 5a-2 = 0 5a = 2 a = 2/5  [satisfaz a condição de existência] Alternativa correta é a letra A Aproveite e continue estudando com mais  questões de matemática da ESA .   Um forte abraço e bons estudos.

(EsPCEx 2019) Dividindo-se o polinômio P(x) = 2x 4 - 5x 3 + kx - 1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a [A] 10.    [B] 9.    [C] 8.    [D] 7.    [E] 6. Solução:  questão sobre polinômios onde precisaremos realizar as duas divisões e ao final igualar os restos para obter o valor de k.  Atenção porque esta é uma questão muito boa para praticar a divisão de polinômios quando nem todos os seus coeficientes são números. Se você ainda não estudou o mecanismo da divisão de polinômios, recomendo este exercício introdutório. >> Exercício resolvido de divisão de polinômios. Continuando esta resolução, a divisão de  (2x 4  - 5x 3  + kx - 1) por (x-3)   gera resto: 3k+26 A divisão de  (2x 4  - 5x 3  + kx - 1) por (x+2)   gera resto: -2k+71 Agora basta igualar: 3k+26 = -2k + 71 5k = 71-26 5k = 45 k = 9 Alternativ...

(EsPCEx - 2018)  Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio  p(x) = x 5  - 2x 4  - x + 2 , podemos afirmar que p(x) tem [A] duas raízes iguais a i, uma raiz racional e duas raízes irracionais. [B] i e -i como raízes complexas e três raízes irracionais. [C] uma raiz complexa i e quatro raízes reais. [D] i e -i como raízes complexas e três raízes inteiras. [E] três raízes simples e uma raiz dupla. Solução:  questão muito boa sobre polinômios e números complexos que requer atenção para alguns aspectos teóricos destas disciplinas da matemática. Sabe-se que se um número complexo ( a+bi) é raiz de um polinômio, então o seu conjugado (a-bi) também será.  Isto quer dizer que as raízes complexas aparecem sempre aos pares. Recomendo a leitura do Livro Matemática Fundamental, 2º Grau - Volume Único .  Autores: José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. Editora FTD. São Paulo, 1994....

Caro estudante, Você que está estudando para a Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) poderá testar seus conhecimentos agora com uma bateria de 10 questões resolvidas dos exames aplicados em 2017, 2018 e 2019.  Em sua preparação na disciplina de matemática, recomendo adotar o hábito de resolver provas anteriores porque isso ajuda bastante no direcionamento dos estudos. Desejo boa sorte na resolução destas questões da  EsPCEx. 1 - (EsPCEx - 2017) O conjunto solução da inequação | |x-4| + 1  |  ≤  2   é um intervalo do tipo [a,b].  O valor de a + b é igual a a) -8   b)  -2   c)  0   d) 2   e)  8 Link para a resolução desta questão. 2 - (EsPCEx - 2018) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025.  O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores pr...

(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura. descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.  O valor do parâmetro β , que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.  O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é A) 1. B) 2. C) 4. D) 5. E) 8. Solução:   questão m...