Caro estudante,

Compartilhamos a Prova Resolvida de Matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Exército - EsPCEx 2020 (Prova de Matemática - Modelo F).   Se você está se preparando para este ou outros concursos militares, recomendo reservar um tempo para resolver essas questões.  Ao final, consulte o gabarito e a resolução comentada.  Bons estudos e sucesso nos concursos e vestibulares.

1) (EsPCEx 2020) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE



A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é

a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5

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2) (EsPCEx 2020) Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = 4/5, então √(2secθ + 3 tgθ) é igual a

a) (√2)/2

b) 1/2

c) (5√2) /2

d) 3/2

e) (√19)/2

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3) (EsPCEx 2020) Na figura abaixo está representado o plano de Argang-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z0 =1.


Sobre o número complexo dado por [ (Z2)² . Z5 ] / Z3 é correto afirmar que é um número

[A] real e negativo. 
[B] real e positivo. 
[C] Imaginário com parte real negativa e parte imaginária positiva. 
[D] Imaginário com parte real positiva e parte imaginária negativa. 
[E] Imaginário puro com parte imaginária negativa.

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4) (EsPCEx 2020) Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando π = 3,14, a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é 

[A] 72 cm. [B] 80 cm. [C] 144 cm. [D] 160 cm. [E] 180 cm.

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5) (EsPCEx 2020) Sabendo-se que a equação 2x² + ay² - bxy - 4x + 8y +c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a+b+c é igual a 

[A] -10. [B] -6. [C] -2. [D] 2. [E] 6.

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6) (EsPCEx 2020) Sejam f(x)=4x² - 12x + 5 e g(x) = x + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual f(g(x)) < 0 é 

[A] -2. [B] -1. [C] 0. [D] 1. [E] 2 .

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7) (EsPCEx 2020) Uma reta tangente à curva de equação y=x² é paralela à reta 6x - y + 5=0. As coordenadas do ponto de tangência são

[A] (3,9). [B] (6,5). [C] (5,6). [D] (5,9). [E] (9,3)

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8) (EsPCEx 2020) Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a

a) √14   b) √17  c) √18   d) √21   e)  √22

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9) (EsPCEx 2020) Qual o valor de n, no binômio (x+3)n para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?

[A] 5 [B] 6 [C] 7 [D] 8 [E] 9

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10) (EsPCEx 2020) Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que poliedro possui é igual a 

[A] 12. [B] 22. [C] 32. [D] 42. [E] 52.

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11) (EsPCEx 2020) Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?

a) 1/12  b) 1/2  c) 1/6  d) 1/3  e) 1/18

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12) (EsPCEx 2020) Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a

a) (πx³)/3  b) πx³  c) (πx³)/2   d)  (3πx³)/4   e) 2πx³

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13) (EsPCEx 2020) Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a

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14) (EsPCEx 2020) Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos? 

[A] 8! [B] 7·7! [C] 7! [D] 2·7! [E] 6·7!

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15) (EsPCEx 2020) Se o polinômio p(x)= x³ + ax² - 13x + 12 tem x=1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que 

[A] x=1é raiz de multiplicidade 2. 
[B] as outras raízes são complexas não reais. 
[C] as outras raízes são negativas. 
[D] a soma das raízes é igual a zero. 
[E] apenas uma raiz não é quadrado perfeito.

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16) (EsPCEx 2020) Os pontos A(3,-2) e C(-1,3) são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contem a diagonal BD é 

[A] 5x + 4y -7 = 0. [B] 8x -10y -3 = 0. [C] 8x + 10y -13 = 0. [D] 4x -5y + 3 = 0. [E] 4x + 5y -7 = 0.

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17) (EsPCEx 2020) A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h(t) = log2 (at² + bt + c), com t ∈ [0,7] , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?


[A] 3 horas e 30 minutos [B] 3 horas [C] 2 horas e 30 minutos [D] 2 horas [E] 1 hora e 30 minutos

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18) (EsPCEx 2020) No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 será de 

[A] 207.360 habitantes. 
[B] 100.160 habitantes. 
[C] 180.000 habitantes. 
[D] 172.800 habitantes. 
[E] 156.630 habitantes.

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19) (EsPCEx 2020) Sejam as matrizes:



Se AB = C, então x+y+z é igual a 

[A] -2. [B] -1. [C] 0. [D] 1. [E] 2.

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20) (EsPCEx 2020) A função real definida por f(x) = (k² - 2k - 3) x + k é crescente se, e somente se

[A] k > 0. 

[B] -1 < k < 3. 

[C] k ≠ -1 ou k ≠ 3. 

[D] k = -1 ou k = 3. 

[E] k < -1 ou k > 3.

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