( UFPR 2024 )  Considere a função f(x) = -x² + 6x - 8.  No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a,b) um ponto do gráfico de f, com b>0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR. A) 1  B) 2  C) 3  D) 4  E) 6 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Para encontrar as interseções do gráfico de f com o eixo x, precisamos calcular f(x) = 0. f(x) = -x² + 6x - 8 -x² + 6x - 8 = 0 Vamos encontrar as raízes dessa equação utilizando a fórmula da soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau ( Relações de Girard ). Soma das raízes = - b/a = -6/-1 = 6 Produto das raízes = c/a = -8/-1 = 8 Podemos notar que 8 = 2x2x2 = 4 x 2 6 = 4 + 2 As raízes de f(x) são 2 e 4.  Deste modo, os pontos P e Q são os pontos (2,0) e (4,0).  Além disso, a parábola tem o...

( UFPR 2024 )  A circunferência C na figura ao lado está centrada no ponto A = (1,1) e tangencia os eixos coordenados. A reta r passa pela origem O e pelo ponto A, intersectando a circunferência no ponto P, conforme indica a figura. A reta s é tangente à circunferência no ponto P e intersecta o eixo x no ponto Q. Assinale a alternativa que corresponde à abcissa do ponto Q. a) 2√2 b) 3√2  -1 c) 1 + 2√2 d) 4√2  -2 e) 2 + √2  Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão de geometria analítica bem interessante, vamos resolver essa questão utilizando também as relações trigonométricas no triângulo retângulo.  Em primeiro lugar, podemos notar que a circunferência tem raio igual a 1 e que o segmento OA é a digonal de um quadrado de lado com medida 1, logo, OA = √2 , conforme ilustrado a seguir:   Também, podemos perceber que a reta r é a reta de equação y = ...

( UFPR 2024 )  Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (2π + 8) cm, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em cm. A) 2  B) 3  C) 4  D) 5  E) 6   Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão bem interessante da UFPR sobre geometria plana, nesta figura, precisamos observar que os pontos P, R, Q e C (centro do círculo) formam um quadrado cujo lado tem medida igual ao raio (r) da circunferência.  Vamos verificar isso passo a passo a seguir: Para facilitar os comentários, as retas receberam os nomes a e b .  Como elas tangenciam a circunferência em R e Q, então o segmento CR é perpendicular à reta a, assim como o segmento...

( UFPR 2024 )  Um cone circular reto S é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos S 1 , S 2 e S 3 , conforme a figura ao lado. Os volumes de S 1 , S 2 e S 3 , nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão q > 1. O quociente entre o raio do cone S e o raio do cone menor S 1  é igual a 3 √7. Assinale a alternativa que corresponde à razão q. A) 2  B) 3  C) 4  D) 5  E) 7   Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão bem interessante englobando vários conceitos da matemática incluindo geometria espacial e progressões geométricas.  Os dois planos paralelos à base do cone circular reto S geraram cones semelhantes.  Por exemplo, o cone S é semelhante ao cone S 1 .  Isto quer dizer que há uma razão de semelhança entre eles.  Ela pode ser obtida, entre os cones S e S 1  por meio do quocient...

( UFPR 2024 )  Sejam p(x) = x + a  e q(x) = x² - b funções, com a e b números reais.  Sabendo que r = 1/2 é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b . a) -2 b) -1 c) -1/2 d) 1/2 e) 2 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão bem interessante da UFPR sobre funções compostas e funções do segundo grau. Vamos obter a f(x) f(x) = q(p(x)) f(x) = (p(x))² - b f(x) = (x + a)² - b Podemos notar que f(x) é uma função do segundo grau, e como o enunciado nos informou que ela só possui uma única raiz r = 1/2 , então f(x) é um trinômio do quadrado perfeito, ou seja, o valor de b tem que ser 0.  Eliminando b ficaremos com f(x) = (x + a)² Que também pode ser escrita assim f(x) = (x+a)(x+a) Note que a f(x) possui uma única raiz real (com multiplicidade 2), que vale x + a = 0 x = -a Nós já sabemos que a raiz vale 1/2,...

( UFPR 2024 )  Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150  a -0,05t , com a > 1, sendo  T a temperatura do bolo e t  o tempo decorrido em minutos. Assinale a alternativa que corresponde ao tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial que apresentava quando foi retirado do forno em t = 0. (Use se necessário log a 2 = 0,7 e log a 5 = 1,6). A) 10 minutos B) 12 minutos C) 16 minutos  D) 18 minutos E) 22 minutos Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Primeiramente, vamos encontrar a temperatura inicial, ou seja, quando t = 0 T(t) = 30 + 150  a -0,05t   T( 0 ) = 30 + 150  a -0,05. 0   T( 0 ) = 30 + 150  a 0   T( 0 ) = 30 + 150 . 1 T( 0 ) = 180 O objetivo é encontrar o tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial, ou seja,  180 / 2 = 90 Finalmente, vamos encontr...

( UFPR 2024 )  Ana quer descobrir a senha do celular de seu irmão Carlos, a qual é formada por uma sequência de quatro dígitos numéricos dentre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ela sabe que o irmão sempre usa, em suas senhas, os três dígitos de sua residência: 4, 6 e 8. Recentemente, ela descobriu que o número formado pela senha é ímpar. De acordo com essas informações, quantas possibilidades Ana deve considerar para descobrir a senha de Carlos?  A) 8 B) 11 C) 15 D) 24 E) 30 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. A senha possui 4 dígitos numéricos dentre { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9} e ela forma um número ímpar, isto quer dizer que ela precisa terminar em 1,3, 5, 7 ou 9.  Podemos notar que existem 5 casos possíveis.  Vamos gravar esse número 5 que será multiplicado pelo próximo que vamos encontrar a seguir. Uma vez que a senha possui 4 dígitos e já sabemos que ela p...

( UFPR 2024 )  Sabendo que sen (2x) = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de  [ sen(x) + cos(x) ]².  a) 0,8 b) 1,0 c) 1,2 d) 1,4 e) 1,6 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Vamos trabalhar primeiro no seno de 2x. sen (2x) = 3/5 2 . sen(x) . cos(x) = 3/5 = 0,6 Agora, vamos calcular a expressão fornecida: [ sen(x) + cos(x) ]² sen²(x) + 2 sen(x) cos(x) + cos²(x) sen²(x) + cos²(x) + 2 sen(x) cos(x)   1 + 0,6 1,6 Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

( UFPR 2024 )  Beatriz estava na escadaria de seu prédio, que tem 32 degraus, numerados conforme a figura ao lado. Ela, primeiramente, desceu 6 degraus e depois subiu 12 degraus, percebendo que ainda faltavam 5 degraus para chegar no topo da escadaria. Em que degrau ela estava inicialmente? A) 10 B) 12 C) 17 D) 21 E) 27 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Para resolver essa questão, vamos considerar que inicialmente Beatriz estava no degrau de número igual a X . Ela, primeiramente, desceu 6 degraus.  Isto quer dizer que ela saiu do degrau X e foi para o degrau  X - 6 Depois, subiu 12 degraus, logo, ela foi para o degrau  X - 6 + 12 X + 6 Percebendo que ainda faltavam 5 degraus para chegar no topo da escadaria. Em que degrau ela estava inicialmente? O topo da escadaria é o degrau 32, subtraindo 5 unidades, temos o degrau 27.  Isto quer dizer que o degrau X + 6 é o ...

(Fuzileiro Naval 2024)  Sabendo que um retângulo possui perímetro igual a 20m, e que seu maior lado mede o quádruplo do menor, qual é o valor de sua área?  A) 10m² B) 16m² C) 40m² D) 80m² E) 100m² Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Vamos ilustrar o retângulo com os respectivos lados de medida 4x e x, isto porque o maior lado mede o quádruplo do menor. De acordo com o enunciado, o retângulo possui perímetro igual a 20m, isto quer dizer que a soma de seus quatro lados vale 20, vamos equacionar isso para encontrar x. 4x + 4x + x + x = 20 10x = 20 x = 20/10 x = 2 m A área do retângulo é dada pela fórmula: Área = base x altura Neste caso, a base vale 4x , substituindo x por 2 temos que a base = 4.2 = 8m.  Já a sua altura vale x = 2m.   Para encontrar a área, basta aplicar estes valores na fórmula. Área = 8 x 2 = 16 m² Alternativa correta é a letra b). Aproveit...

(Fuzileiro Naval 2024)  Determine o comprimento da diagonal de um retângulo de lados √5 cm e √3 cm. a) 2√2 cm b) 3√2 cm c) 4√2 cm d) 5√2 cm e) 6√2 cm Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Podemos encontrar a diagonal (d) do retângulo, conforme ilustração a seguir, utilizando o Teorema de Pitágoras . d² = (√5)² + (√3)² d² = 5 + 3 d² = 8 d = √8 d = 2√2 cm Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.

(Fuzileiro Naval 2024)  Um ciclista percorre determinada distância com uma velocidade de 20m/s e demora 50 segundos para concluir o trajeto. Para diminuir seu tempo em 20%, qual deve ser sua nova velocidade para percorrer a mesma distância nas mesmas condições?  A) 4 m/s B) 16m/s C) 25m/s D) 100m/s E) 120m/s Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Nesta questão, vamos trabalhar com a fórmula da velocidade média   VM =  ΔS / ΔT  VM → Velocidade Média ΔS → variação de espaço ΔT → variação de tempo Do enunciado: " Um ciclista percorre determinada distância com uma velocidade de 20m/s e demora 50 segundos para concluir o trajeto ".  Podemos encontrar a distância percorrida em metros por esse ciclista usando a fórmula da velocidade média. VM =  ΔS / ΔT  20 = ΔS / 50 ΔS = 20 . 50 ΔS = 1000 m Do enunciado: "  para diminuir seu tempo em 20%, q...

(Fuzileiro Naval 2024)  Seja a função g(x) do 1º grau, sabemos que g(1) = 2 e que g(-1) = -4. Determine o valor de g(0).  A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Uma vez que a função g(x) é do 1º grau, então podemos resolvê-la de várias maneiras, podemos usar determinante de matriz,  semelhança de triângulos ( confira neste exemplo ), vamos optar por calcular o coeficiente angular (m) e encontrar a g(x), uma vez que conhecemos dois pontos dessa reta. m = Δy/Δx m = (y 2 - y 1 )/(x 2 -x 1 ) Do enunciado, conhecemos dois pontos (x,y) da reta, são eles  ( -1,-4 ) e ( 1,2 ).  Vamos utilizá-los para obter m. m = [ 2 - ( -4 )] / [ 1 - ( -1 )] m = (2+4) / (1+1) m = 6/2 m = 3 Agora, vamos utilizar a equação fundamental da reta. y - y 0   = m ( x - x 0 ) Vamos aplicar m = 3 e o ponto (x 0 ,y 0 ) = (1,2) .   Este ponto ta...

(Fuzileiro Naval 2024)  Em um mapa cartográfico cada centímetro corresponde a 500 metros. Determine, em quilômetros, a distância entre as cidades A e B, sabendo que no mapa essa distância corresponde a 7 centímetros.  A) 0,035 km B) 0,35 km C) 3,5 km D) 35 km E) 350 km Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Vamos resolver essa questão utilizando a regra de três simples: 1 cm → 500 m 7 cm → X m 1   .   X   =   7   .   500 X = 3500 Descobrimos que a distância entre as cidades A e B é de 3500 metros.  Essa distância equivale a 3,5 km . Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.

(Fuzileiro Naval 2024)  Cerca de 100 g do metal Nióbio é capaz de tornar uma liga de 1 tonelada de ferro extremamente resistente. Determine quantos quilogramas de Nióbio são necessários para tornar uma liga de 5 mil quilogramas mais resistente.  A) 500 kg B) 50 kg C) 5,0 kg D) 0,5 kg E) 0,05 kg Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Vamos resolver essa questão utilizando uma regra de três simples.  Primeiramente, vamos fazer algumas conversões de unidades de medida. 100 g equivale a 0,1 kg 1 tonelada equivale a 1000 kg Do enunciado: "cerca de 100 g  ( equivale a 0,1 kg ) do metal Nióbio é capaz de tornar uma liga de 1 tonelada ( equivale a 1000 kg ) de ferro extremamente resistente. Determine quantos quilogramas de Nióbio  ( é o X da questão ) são necessários para tornar uma liga de 5 mil quilogramas mais resistente." Agora, vamos resolver uma regra de três ...

(Fuzileiro Naval 2024)  Qual o décimo termo da sequência (1, 1 , 2 , 3, 5, 8 , ...) ?  A) 10 B) 13 C) 21 D) 34 E) 55 Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Nesta sequência, do 3° termo em diante, o valor de um determinado termo é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele.   Vamos ver isso passo a passo:  ( 1 , 1 , 2 , 3, 5, 8 , ...) Note que  2  é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele, ou seja,  2  =  1  +  1   Perceba que a mesma coisa acontece com o 4° termo da sequência: (1, 1 , 2 , 3 , 5, 8, ...) Note que  3  é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele, ou seja,  3  =  2  +  1   Se você repetir essa análise para o 5° termo, e também para os termos seguintes, notará que isso se repete.  Deste modo, para encontrarmos...

(Fuzileiro Naval 2024)  A fim de visitar um grande amigo, Samuel viajou do Rio de Janeiro com destino a Brasília. Sabendo que o trajeto que ele percorreu foi de 1.200km, e que o consumo de combustível nessa viagem foi de 80 litros, calcule quantos quilômetros seu veículo andou por cada litro de combustível consumido nesse trajeto. A) 15km/l B) 16km/l C) 17km/l D) 19km/l E) 22 km/l Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Para calcular quantos quilômetros o veículo andou por cada litro de combustível consumido nesse trajeto, basta dividir o total de quilômetros percorridos pelo total de combustível consumido. 1200 km   80      l 15 km/l Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.

(Fuzileiro Naval 2024)  Qual o volume de uma esfera cujo diâmetro mede 6 dm?  (utilize π = 3,1) A) 37,20 dm³ B) 111,6 dm³ C) 487,1 dm³ D) 519,0 dm³ E) 892,8 dm³ Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. O diâmetro da esfera mede 6 dm, o raio R da esfera mede a metade do diâmetro: R = 6/2 = 3 dm. A fórmula do volume da esfera Ve de raio R é dada por: Ve = (4/3) π R³ Aplicando na fórmula π = 3,1 e R = 3, encontraremos o volume da esfera em dm³. Ve = (4/3) 3,1 . 3³ Ve = (4/3) 3,1 . 27 Ve = 4 . 3,1 . 9 Ve = 111,6 dm³ Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.

(Fuzileiro Naval 2024)  Sabendo que a sequência (x-1, 6, x+3) é uma Progressão Aritmética de razão igual a 2 (dois), determine o valor de x.  A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1  Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Nesta PA,  > o primeiro termo, a1, vale (x-1) > o segundo termo, a2, vale 6 > a razão, r, vale 2 Para encontrar o valor de x, basta calcular: a1 + r = a2 x - 1 + 2 = 6 x + 1 = 6 x = 6 - 1 x = 5 Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores: Concurso Fuzileiro Naval . Um forte abraço e bons estudos.