(Colégio Naval 2021) Em 2021, o período de adaptação dos alunos do Colégio Naval teve início no dia 15 de março, um domingo.  Qual será o dia do início da próxima adaptação, se esta começar no dia 18 de junho de 2022? a) Domingo. b) Sexta-feira. c) Quarta-feira. d) Segunda-feira. e) Sábado. Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. De acordo com a questão:  15/03/2021 é domingo, se somarmos 7 dias teremos um novo domingo. 22/03/2021 é domingo, novamente, somamos mais 7 dias e teremos um novo domingo. 29/03/2021 é domingo. O que vamos fazer é o seguinte:  calcular a diferença (18/06/2022) - (15/03/2021) em dias e dividir esse valor por 7 e analisar o resto da divisão, vamos fazer isso passo a passo. 15/03/2021 até 15/03/2022 temos 365 dias. Março tem 31 dias, então temos que somar mais 16 dias deste final de março. Total 365 + 16 = 381. Abril tem 30 dias, então somamos 3...

(Colégio Naval 2017) O produto das idades de quatro irmãos é 180.  Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes.  Se o mais velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma possível dessas quatro idades é igual a a)  16    b)  19  c) 20   d)  22   e) 25 Solução: questão de matemática muito interessante do Colégio Naval do ano de 2017. A estratégia que adotei para resolver a questão foi a de decompor o número 180 em fatores primos. Veja como ficou mais fácil interpretar a questão depois da decomposição do 180.   Se: >> as idades dos 4 irmãos foram multiplicadas e deram 180; >> as idades são todas diferentes entre si; >> a maior idade é no máximo 11; e >> queremos a maior soma. Então o máximo que podemos considerar: >> para o maior irmão será 5 x 2 = 10 anos; >> para o segundo maior será 3 x 3 = 9 anos; >> para o terceiro e o quarto s...

(Colégio Naval 2021) Para a seleção de alunos monitores do Colégio Naval, foram abertas inscrições para as disciplinas de Matemática, Português e Física.  No entanto, não foi permitida a candidatura para Português e Física, simultaneamente, por incompatibilidade de horário.  O total de inscritos para Português foi de 19 alunos, já para Física, foram 42.  Dos 84 inscritos para Matemática, 49 são candidatos apenas para Matemática.  Foi constatado que o número de inscritos apenas para Português é de 10 alunos a menos que o número de inscritos apenas para Física.  Assinale a opção que corresponde ao número de alunos que se inscreveram para Matemática e Física ao mesmo tempo. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 Solução: questão de matemática sobre Teoria dos Conjuntos do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Vamos ilustrar nosso problema com um Diagrama de Venn inserindo algumas informações iniciais....

(Colégio Naval 2022)  Em uma pesquisa sobre prática de esportes realizada com alunos do Colégio Naval constatou-se que:  116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo; 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez; e 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez.  Dentre os praticantes de esportes, quantos praticam somente Xadrez? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Uma questão bem interessante de Teoria dos Conjuntos, vamos ilustrar o diagrama de Venn deste problema, sendo: x = quantidade de alunos que praticam somente xadrez (objetivo da questão) y = quantidade de alunos que praticam somente iatismo z = quantidade de alunos que praticam somente esgrima O enunciado nos informa que 116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo, isto quer dizer que o total de esportistas na região em azul é igual a 116.  Agora, uma informação importante: 59 alunos ...

(Colégio Naval 2022)  O símbolo do Grêmio Estudantil do Colégio Naval é composto por um círculo de raio = k√3, centro O , tangente ao lado BC e ao segmento MN ( MN // BC ), do triângulo equilátero ABC , cujo lado mede 6 cm, conforme a figura abaixo. Determine o valor de k para que a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo seja mínima, em cm.  (Utilize π = 3) a) 4√3 / (9 + 4√3) b) 9√3 / (18 + 8√3) c) 5√3 / (9 + 4√3) d) 11√3 / (18 + 8√3) e) 6√3 / (9 + 4√3) Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Uma questão bem interessante de geometria plana (área do triângulo e área do círculo) envolvendo também a minimização de uma função do segundo grau (parábola) utilizando as coordenadas do vértice da parábola. O objetivo da questão é encontrar o valor de k de modo a Minimizar (Área do Círulo + Área do Triângulo AMN) Para isso, precisamos colocar as duas ár...

(Colégio Naval 2022)  Na organização de uma competição interna do Colégio Naval, ficou decidido que cada ano de escolaridade compraria suas bolas de treinamento.  Essa compra ocorreu da seguinte forma: Sabendo que as bolas de mesma categoria têm o mesmo valor, o total gasto pelo 1° ano foi de R$ 1.800,00 e que o total de gasto do 2° ano foi de R$ 3.000,00, podemos afirmar que: a) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano, mas nenhum dos preços unitários das três bolas. b) não é possível calcular o preço de qualquer uma das bolas. c) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano e os preços unitários das três bolas. d) é possível calcular o total gasto pelo 3° ano e apenas o preço unitário da bola de basquete. e) não é possível calcular o total gasto pelo 3° ano. Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Sejam,  x = preço unitário da bola de futebo...

(Colégio Naval 2021) A 157° casa decimal do número equivalente a 1/13 é: a) 0  b) 1  c) 2  d) 7  e) 9 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Nesta questão, precisamos dividir 1/13 até encontrarmos um padrão de repetição: 1/13 = 0, 076923 076.. Repare que após a vírgula, teremos sempre repetições dos blocos  { 076923 } o qual contém 6 dígitos. Agora, vamos dividir o 157 por 6.  Teremos como resultado quociente igual a 26 e resto igual a 1. 157/6 = 26 x 6 + 1 Esse (resto = 1) é o mais importante agora na resolução da questão, perceba que 1/13 = 0, | 076923|    0                        | 26 x         | 157º termo vale 0    Alternativa correta é a letra a). Esse tipo de questão é muito comum.  Aproveite e teste seus conhecimentos resolvendo uma quest...

(Colégio Naval 2019) Observe a figura a seguir. Nela temos dois triângulos equiláteros de lado 2√3.  Sabe-se que o círculo no interior do primeiro triângulo e o quadrado no interior do segundo triângulo, tem as maiores áreas possíveis.  É correto afirmar, que a razão entre os perímetros do círculo e do quadrado é igual a: a)   π√6.(√3 + 3)              12 b)   π√6.(√3 -1)              12 c)  ( π + 3√3)  √3              6 d)   π√3.(3 + 2 √ 3)              36 e)   π√3.(√3 + 6)              36 Solução: questão muito rica de geometria do concurso Colégio Naval 2019 sobre polígonos inscritos em um triângulo equilátero.  Primeiramente, a altura deste triângulo pode ser obtida usando o Teorema de Pitágoras. h² + (√3)² = (2√3)² h² + 3 = 12 h² = 9 h = 3 ...

(Colégio Naval 2022)  Um Hotel de trânsito da Marinha do Brasil possui n quartos enfileirados.  O administrador do hotel vai numerar as portas dos quartos de forma crescente com algarismos metálicos, mas percebe que só possui os algarismos 0, 1 e 2, de forma suficiente para numerar todos os quartos.  Dessa forma,  a numeração dos quartos seguiu o seguinte padrão mostrado na tabela abaixo. De acordo com os dados, qual é a posição (ordem) do quarto numerado por 1210022? a) 143° b) 1024° c) 1057° d) 1210° e) 1304° Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Uma questão muito interessante que envolve a conversão de bases numéricas.  O tema sistemas de numeração e conversão de bases numéricas tem ficado cada vez mais comum em concursos e vestibulares conforme comentamos na lista de exercícios a seguir: >>> Exercícios Resolvidos de Sistema...

(Colégio Naval 2022)  Observe o símbolo abaixo: Associamos a cada vértice do símbolo da Corveta Caboclo as Letras A, B, C, D e E, conforme a figura acima.  Fazendo a associação A - 1, B - 2, C - 3, D - 4, E - 5, A - 6, ..., e assim, sucessivamente, a qual vértice estará associado o número 2022? a) A b) B c) C d) D e) E Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Podemos notar que a sequência se repete de 5 em 5.  Sendo assim, vamos dividir 2022 por 5. 2022  | 5       2   | 404 2022 = 404 x 5 + 2 Note que teremos 404 vezes o bloco ABCDE e depois mais duas letras, ou seja, uma vez a letra A e finalmente a letra  B  (ocupando a posição 2022). Alternativa correta é a letra b). De forma ilustrada: Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores do Colégio Naval. Um forte abraço e bons e...

(Colégio Naval 2022)  Um atleta da Marinha do Brasil possui capacidade física para correr até 4 horas continuamente ou caminhar até 32 horas continuamente.  Ao testar seus limites, em um determinado dia, ele correu 3 horas e, logo em seguida, caminhou x horas até atingir o máximo de sua capacidade física.  Assinale a opção que indica o valor de x , em horas. a) 6 b) 8 c) 11 d) 17 e) 20 Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Note que a capacidade do atleta é igual a (4 horas de corrida) ou (32 horas de caminhada). Podemos visualizar que cada 1 hora de corrida equivale a (32/4) = 8 horas de caminhada. Num determinado dia, se o atleta correu por 3 horas, então quer dizer que ele ainda pode correr por mais (4-3) = 1 hora ou então caminhar pelo tempo equilavente a essa 1 hora de corrida que é igual a 8 horas de caminhada .  Logo x = 8. Alternativa...

(Colégio Naval 2021) Na figura abaixo, O é o ponto de encontro das bissetrizes do Δ ABC e centro da circunferência σ.  Sabendo que BÔC é o dobro de BÂC e que o PQ = 10√3 cm, qual é o comprimento ? a) (5π) / 6 b) (2π) / 3 c) π/3 d) (20π) / 3 e) (15π) / 6 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Questão de geometria muito interessante que engloba o conceito de cevianas (bissetriz de um triângulo) , somatório dos ângulos internos de um triângulo,  relações métricas na circunferência (cordas e arcos) e também a lei dos cossenos .  Vamos resolvê-la passo a passo: Primeiramente, vamos encontrar o valor do ângulo BÔC.  Lembre-se que as bissetrizes estão dividindo seus respectivos ângulos pela metade. A soma dos ângulos internos do triângulo ABC vale: 2a + 2b + 2c = 180° 2 (a + b + c) = 180° a + b + c = 90º   [Equação I] A soma dos ângulos internos do tr...

(Colégio Naval 2021) Dado um triângulo equilátero ABC, de lado x, e sabendo que M é o ponto médio de BC, é INCORRETO afirmar que: a) AM = (x√3)/2. b) o triângulo ABC é, também, um triângulo isósceles. c) a altura (h) do triângulo ABC é mediana e bissetriz. d) a área do triângulo ABC corresponde a expressão   (√√(9x 8 )) / ( 3 √64) e) a altura (h) do triângulo ABC é igual a (x√3)/4 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. As opções fornecidas nas letras a) até d) estão corretas. Na letra a) o segmento AM é o mesmo que a altura do triângulo equilátero que vale (x√3)/2. Na letra b) o triângulo ABC ( com 3 lados iguais ) é, também, um triângulo isósceles ( com pelo menos 2 lados iguais ).  Na letra c) a altura (h) do triângulo ABC é mediana e bissetriz.  Correto, pois no triângulo equilátero a altura, mediana e bissetriz, referente a cada lado, estão sobre a mesma ret...

(Colégio Naval 2021) Dada a função algumas afirmações são feitas a respeito de f(x). I -     O gráfico coincide com a reta y = 0, quando x ≤ 0 II -    A imagem de f(x) é Im {y ∈ R | 0 ≤ y < 1 }. III -    f(x) é uma função decrescente. Estão corretas: (A) apenas I e II. (B) apenas II e III. (C) I, II e III. (D) apenas I. (E) apenas II. Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Para resolver essa questão, vamos esboçar o gráfico dessa função definida por várias sentenças.  Neste caso, cada diferente subdomínio terá um tipo de função diferente, vamos esboçá-las. Agora, vamos analisar as afirmações: I -      O gráfico coincide com a reta y = 0, quando x ≤ 0    (VERDADE) II -    A imagem de f(x) é Im {y ∈ R | 0 ≤ y < 1 }.   ( FALSA , pois inclui também o y = 1) III -   f(x) é um...

(Colégio Naval 2020) Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 ≤ n ≤ 202, e n é a quantidade de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta num quadrado perfeito? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 Solução: questão interessante do Colégio Naval 2020 que envolve geometria e a decomposição de um número em fatores primos. Da geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de "n" lados é dada por (n-2).180º. O quadrado por exemplo,  que tem 4 lados, tem soma de seus ângulos internos igual a  (4-2).180° = 2 . 180°= 360°. Já o triângulo tem 3 lados e a soma de seus ângulos internos vale (3-2).180° = 180°. A decomposição de 180 em fatores primos é 180 = 2².3².5¹.  Ou seja, para termos um quadrado perfeito, devemos multiplicar o 180 sempre por números que após serem fatorados, tenham em sua composição uma base 5 elevada a número ímpar e as demais bases elevadas a números pares. n-2 = 5 ímpar  .2 ...

(Colégio Naval 2021) Sejam m, n e x números reais, tais que m = 2 2 , m n = 32 e m - n = x.  O valor da expressão m -x . x -4 . 9n é: a) (5/6) -1      b) 0, 6     c) 0, 5      d) (3) -1      e) (1/2) -1 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Primeiramente, vamos obter os valores de m, n e x. m = 2 2 m = 4 m n  = 32 (2²) n   =2 5    2 2 n  = 2 5   2n = 5 n = 5/2 m - n = x 4 - 5/2 = x x = 3/2 Agora, vamos aplicá-lo na expressão fornecida: m -x  . x -4  . 9n 4 -3/2  . (3/2) -4  . 9 . (5/2) (2²) -3/2  . (2/3) 4  . 9 . (5/2) (2) -3  . (2 4 /3 4 ) . 3² . (5/2) (1/2 3 ) . (2 4 /3 2 ) . (5/2) (1/3 2 ) . (5) 5/9 = 0,5555... =  0, 5     Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de ques...

(Colégio Naval 2022)  Observe o símbolo abaixo: O pentágono do símbolo da Fragata Rademaker é regular.  Se o produto da medida de uma de suas diagonais pela medida de um de seus lados é 2 dm², determine a medida desse lado, em dm, e assinale a opção correta. Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. Para resolvermos essa questão, precisamos ter em mente que em um pentágono regular, se aplica a seguinte relação: (diagonal do pentágono regular) = (lado do pentágono regular) x (número de ouro)  O número de ouro também é conhecido como proporção áurea, número áureo, secção áurea, proporção de ouro.  Saiba mais aqui . Número de ouro =  1 + √5                                                 2 Sendo assim, temos qu...

(Colégio Naval 2022)  O relógio analógico de um camarote da Fragata Liberal foi acertado exatamente às 18 horas.  Qual será o menor ângulo entre os ponteiros desse relógio, quando o ponteiro menor tiver percorrido um ângulo de 36°? a) 72° b) 90° c) 108° d) 126° e) 144° Solução:  Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2022) . Prova aplicada no dia 02/07/2022. O ponteiro menor é o das horas (ilustrado em vermelho) e o maior é o dos minutos (ilustrado em preto).  Note que às 18h00, o ângulo entre eles é de 180°. Sabemos que toda vez que o ponteiro das horas avança 1 hora,  o ponteiro dos minutos dá uma volta completa (360°).  Note que o relógio está dividido em 12 horas, então para sabermos quantos graus equivalem a 1 hora, basta dividirmos 360°/12 = 30°. Vamos guardar a informação de que toda vez que o ponteiro das horas andar 30° ele terá avançado 1 hora.   O ponteiro das horas ir...

(Colégio Naval 2021) Marque a opção que apresenta a solução da inequação abaixo. a) S =  { x ∈ R | -1 < x < 0} b) S =  { x ∈ R | -4 < x < -1  U  0 < x < 2 } c) S =  { x ∈ R | 2 < x < 4} d) S =  { x ∈ R | -8 < x < -4} e) S =  { x ∈ R | -1 < x < 0  U  0 < x < 2 } Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Para resolvermos essa inequação quociente, vamos nomear: N(x) o polinômio do numerador: D(x) o polinômio do denominador. De modo que teremos:  N(x) / D(x) < 0 Simplificando esses dois polinômios, chegaremos a: x² + 4x   < 0 x² - x -2 Perceba que ambos são do segundo grau, com coeficiente "a" positivo, logo possuem formato de parábola com concavidade voltada para cima (formato de U ).  Vamos encontrar suas raízes e esboçar seus gráficos para analisarmos os pontos positivos e negativ...

(Colégio Naval 2021) Sabendo que os números x, y e z ∈ Z + *   e que x + y + z é igual ao maior número inteiro de 4 algarismos distintos, assinale a opção que expressa o resultado da nova soma, caso seja acrescentado aos números x, y e z o menor número inteiro de 3 algarismos. a) 10.176  b) 10.299  c) 10.182  d) 10.305  e) 10.083 Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao  Colégio Naval (CPACN/2021) . Prova aplicada no dia 02/10/2021. Em primeiro lugar, temos que observar que x, y e z são inteiros positivos e sem incluir o número 0. Do enunciado: "x + y + z é igual ao maior número inteiro de 4 algarismos distintos". Este número é o 9876. x + y + z = 9876 Agora, temos que acrescentar aos números x, y e z o menor número inteiro de 3 algarismos.   Atenção, pois aqui ele não exige que sejam 3 algarismos distintos.  O menor número inteiro com 3 algarismos é o 100. Adicionando: x + 100 + y + 100 + z + 100 x + ...