( ESA 2023 )  Na figura, ∆𝐴𝐵𝐶 é um triângulo retângulo, Q é o ponto médio de 𝐴𝐵. 𝑄𝑃 é paralelo a 𝐵𝐶. Sendo 𝐴𝐶 = 30𝑐𝑚, qual é a medida de 𝑃𝑂? A) 15 cm B) 5 cm C) 10 cm D) 7 cm E) 6 cm Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Nessa questão de geometria plana, vamos trabalhar bastante com semelhança de triângulos.  Sabendo que o ponto Q é o ponto médio de AB, então BQ = QA.  Vamos atribuir a estes dois segmentos iguais o valor de x e com isso atualizar a figura Podemos notar que os triângulos AQP e ABC são semelhantes, sendo assim, temos que AB = BC = AC AQ    QP     AP Vamos obter as medidas de CP e AP AB  =   AC AQ     AP 2x   = 30  x        AP 2. AP = 30 AP = 15 Sabemos que  AP + CP = 30 15 + CP = 30 CP = 15...

( ESA 2023 )  Os Batalhões de Inteligência Militar desenvolvem formas para o envio de mensagens secretas, sendo uma delas os códigos matemáticos que seguem os passos abaixo:  1. O destinatário e o remetente possuem uma matriz chave C;  2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz da mensagem a ser codificada;  3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = 𝑎, 2 = 𝑏, 3 = 𝑐, … , 23 = 𝑧;  4. Consideramos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y;  5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação;  6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33.  Considere as matrizes: Com base nas informações descritas, qual alternativa apresenta a mensagem enviada por meio da matriz M?  A) Brasil! B) Território! C) Pantanal! D) Montanha! E) Guerreiro! ...

( ESA 2023 )  A altitude (h) acima do nível do mar, em quilômetros, durante o voo de um avião é dada em função da pressão atmosférica p, em atm, por h(p) = 30 . log 10  (1/p)  Em determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro desse avião era de 0,8 atm. Nesse instante, a altitude do avião, em quilômetros, considerando log 10  2 = 0,3   , era de: A) 2  B) 3  C) 6  D) 8 E) 9 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Para resolvermos essa questão, precisamos encontrar quanto vale h(0,8) h (0,8) =  30 . log 10  (1/0,8)  Vamos calcular separadamente quanto vale 1/0,8 1 / 0,8 = 1 / (8/10) = 10/8 Voltamos com este valor na equação logarítmica. h (0,8) =  30 . log 10  (10/8)  Agora, vamos utilizar a seguinte propriedade dos logaritmos: log a (b...

( ESA 2023 )  Em uma determinada aula de Geometria Analítica, uma candidata do Concurso da ESA, da área da saúde, deparou-se com a seguinte situação 𝑥² + 𝑦² = 2𝑥 + 2𝑦 − 1. Ao desenvolver essa igualdade a estudante obteve:  A) Uma circunferência centrada na origem. B) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio 2. C) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio √2. D) Uma circunferência de centro 1 e 1 e raio 1. E) Nenhuma das alternativas anteriores. Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. x² + y² = 2x + 2y - 1 x² - 2x   + y² - 2y   = -1 x² - 2x + 1  + y² - 2y + 1  = -1   + 1   + 1 Repare que completamos os quadrados adicionando  + 1  e  + 1  do lado esquerdo da igualdade e, para manter essa igualdade, precisamos adicionar do lado direito também...

( ESA 2023 )  A nova sede da Escola de Sargentos do Exército (ESE) será construída na região metropolitana de Recife-PE. O marco zero dessa belíssima cidade encontra-se na região portuária denominada “Recife Antigo”. Ao realizar a medição em um mapa de escala 1: 95000 cm, a distância entre o marco zero de Recife e o local de construção da nova sede da ESE, encontramos 55 cm. A distância real, em quilômetros, entre esses dois pontos citados é de:  A) 45,2 Km B) 42,5 Km C) 52,25 Km D) 5,225 Km E) 42,25 Km Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Como a escala é de 1 : 95000, então significa que 1 cm no papel equivale a 95000 cm de distância real.  Como a distância medida no mapa foi de 55 cm, então a distância real vale 55 cm x 95000 = 5 225 000 cm Vamos converter cm para Km, para tanto basta " andar com a vírgula ...

( ESA 2023 )  Para avançar ao Rancho, 8 (oito) soldados, entre eles o Sd Alfa e o Sd Bravo, são colocados em fila. Pode-se afirmar que a probabilidade desses dois militares ficarem juntos é de: A) 50% B) 40% C) 25% D) 20% E) 12,5% Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Uma questão interessante de probabilidade e análise combinatória.  Para calcularmos a probabilidade desses dois militares ficarem juntos, vamos utilizar a fórmula P = E / U E = quantidade de eventos favoráveis, ou seja, quantidade de filas nas quais Sd Alfa e o Sd Bravo estão juntos. U = quantidade total de filas diferentes que podem ser formadas sem restrição com os oito solados. Cálculo de U U = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1   U = 8!  (vamos guardar assim)   Cálculo de E Sejam A e B, respectivamente Sd Alfa e o Sd Bravo, vamos ...

( ESA 2023 )  O valor da soma dos elementos do conjunto solução da equação |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1, é igual a:  A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Nesta questão, vamos rapidamente recapitular  como resolver uma equação modular .   Quando temos a seguinte equação modular |x| = 6 , vamos resolvê-la por meio de outras duas equações: x = 6   ou x = -6 Note que tanto x valendo 6, quanto x valendo -6 , o módulo de x valerá 6.  Ter isso em mente será importante para resolver essa questão. O método de resolução da equação modular   |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1 consiste em resolver duas equações sem o módulo, repare:  4𝑥 − 5 = + ( 2𝑥 − 1) ou também   4𝑥 − 5 = - (2𝑥 − 1) Além disso, é necessário que (2x - 1) ≥ 0 isto porque o valor do |4𝑥 − 5| s...

( ESA 2023 )  Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume é dado em função do tempo 𝑡 (contado em minutos), através da seguinte relação 𝑉 = 2𝑡. Qual será o tempo necessário para que o balão infle, até atingir o volume de 18 𝑚³? A) 9 minutos B) 12 minutos C) 6 minutos D) 24 minutos E) 18 minutos Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. O enunciado informa que o tempo t é dado em minutos,  mas não informa a unidade de medida para o volume.  Considerando que o volume V é dado em m³ , temos que  V = 2 t 18 = 2t t = 18/2 t = 9 minutos Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores da ESA. Um forte abraço e bons estudos.

( ESA 2023 )  Em um exercício militar, uma Companhia de Engenharia deve construir uma ponte para ligar as margens paralelas de um rio. Para isso, o Cap Delta, engenheiro militar responsável pela missão, fixou um ponto A na margem do rio em que estava, e um ponto B na margem oposta, de forma que AB fosse perpendicular às margens do rio. Para determinar o comprimento da ponte a partir do ponto A, o Cap Delta caminhou 50 metros paralelamente à margem até o ponto C e mediu o ângulo ACB, obtendo 60°. Considerando √3 = 1,7. Marque a alternativa que apresenta o comprimento da ponte que deverá ser construída para o exercício. A) 25 metros B) 42,5 metros C) 50 metros D) 85 metros E) 100 metros Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Podemos notar que o triângulo ABC é retângulo, sendo assim, temos que  tangente de 60° = catet...

( ESA 2023 )  Em uma instrução de orientação diurna, um aluno da Escola de Sargentos das Armas foi colocado na origem de um sistema cartesiano ortogonal 𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦. Considerando que ele dê exatamente 4 passos, um de cada vez, nas direções norte (N) ou leste (L), quantas trajetórias ele poderá percorrer? A) 32 B) 12 C) 4 D) 36 E) 16 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. O aluno pode dar cada passo nas direções Norte ou Leste.  Isto significa que a cada passo ele tem 2 possibilidades.  Ele vai dar 4 passos, cada um deles com 2 possibilidades, então para calcularmos a quantidade de trajetórias possíveis, pelo princípio fundamental da contagem, basta multiplicar:   2 x 2 x 2 x 2 = 16 trajetórias distintas. Alternativa correta é a letra e). Ou então, aproveite e continue praticando com mais...

( ESA 2023 )  Em um determinado quartel, o comandante determinou que, no primeiro dia de treinamento da nova turma, os recrutas deveriam realizar 20 flexões de braço e aumentar 5 flexões por dia ao longo do curso. Mantida essas condições, em 2 meses, quantas flexões cada recruta terá executado? (Considere o mês com 30 dias)  A) 10.500 B) 8.225 C) 2.805 D) 3.350 E) 10.050 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Note que as quantidades de flexões que estão planejadas formam uma progressão aritmética (PA) de 60 elementos onde a1 = 20 r = 5 n = 60       *** (2 meses, cada um com 30 dias, então temos 2 x 30 = 60 dias) a60 = ? Vamos descobrir quanto vale o a60 dessa PA, utilizando a fórmula do n-ésimo termo da PA. an = a1 + (n-1) . r a60 = 20 + (60-1) . 5 a60 = 20 + 59 . 5 a60 = 20 + 295 a60 = 315 Ilust...

( ESA 2023 )  No Rancho de uma unidade militar há a opção de três pratos de proteína (frango, bife e ovo), três pratos de acompanhamento (farofa, arroz e macarrão) e dois pratos de sobremesa (doce de leite e gelatina). Os militares devem pegar apenas um item de cada prato. Desta forma, podem-se montar quantos tipos de refeições distintas?  A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. A quantidade de refeições distintas é igual a 3 x 3 x 2 = 18.   Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores da ESA. Um forte abraço e bons estudos.

( EsPCEx 2022 )  Sejam λ um parâmetro real e ξ o sistema linear abaixo, com incógnitas a , b e c , É correto afirmar que  [A] ξ será possível e determinado se λ = 0 ou λ = 1. [B] ξ será possível e indeterminado se, e somente se, λ = 0 ou λ = 1. [C] ξ será impossível se λ = –1 ou λ = 0. [D] ξ será possível e indeterminado se λ = –1 ou λ = 0. [E] ξ será impossível se, e somente se, λ = 0 ou λ = 1.  Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Antes de resolvermos essa questão sobre discussão de sistemas lineares, vamos recordar as três classificações dos sistemas lineares.   Sistema Possível e Determinado (SPD) - "admite uma única solução"   (D ≠ 0) Sistema Possível e Indeterminado (SPI) - "admite infinitas soluções" (D = Dx = Dy = Dz = 0) Sistema Impossível (SI) -  "não admite solução" (D=0 e pelo menos um deles Dx...

( EsPCEx 2022 )  Seja M (x) a matriz quadrada de ordem três em função de x ,  Considere f a função definida pela expressão f (x) = det M (x) , em que det M (x) é o determinante da matriz M (x) .  É correto afirmar que a equação f (x) = – 1 [A] não possui solução real. [B] possui uma única solução real. [C] possui apenas duas soluções reais distintas. [D] possui exatamente 2022 soluções reais distintas. [E] possui infinitas soluções reais distintas.  Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Uma questão bem rica sobre matrizes, abordando outras disciplinas da matemática como funções exponenciais e identidades trigonométricas.  Em primeiro lugar, vamos obter o determinante da matriz M(x) usando a Regra de Sarrus . Note que os produtos nas linhas em vermelho são iguais a zero, já nas linhas em azul (que são apenas duas) os resultados são dif...

( EsPCEx 2022 )  Utilize os dados da figura abaixo para responder às questões 3 e 4. Dados: BL é um segmento horizontal e A é o seu ponto médio. O campo tem comprimento BL= 118m e largura MN. Os segmentos RS e MN são, respectivamente, os eixos real e imaginário da hipérbole h, dada pela equação:      x²     -     y²    =  1 1600      900 O ponto I, usado para o pênalti, é um dos focos dessa hipérbole. R e S são vértices (extremidades do eixo real) da hipérbole h. 3)  A largura MN e a medida IL (distância do pênalti ao gol) são, respectivamente, iguais a [A] 60m e 9m. [B] 60m e 10m. [C] 80m e 9m. [D] 80m e 10m. [E] 80m e 19m. 4) O ponto A, centro da hipérbole h, é também centro da circunferência j, dada pela equação: x² + y² = 144 Com isso, é correto afirmar que a distância da circunferência j ao ponto S é igual a [A] 18m. [B] 27m. [C] 28m. [D] 38m. [E] 47m. Solução: duas questões de geome...

( EsPCEx 2022 )  Um polígono regular tem 36 diagonais passando pelo seu centro. Cada ângulo interno desse polígono mede [A] 350º. [B] 180º. [C] 175º. [D] 170º. [E] 72º. Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Sabemos que num polígono regular, com um número (n) de lados, a quantidade de diagonais (DC) que passam pelo seu centro pode ser obtida por meio da fórmula: DC = n/2 Obs:  n tem que ser um número par. Sendo assim, temos que 36 = n / 2 n = 36 x 2 n = 72 Até aqui, sabemos que o polígono regular possui 72 lados. Sabemos também, que a soma dos ângulos internos (Si) de um polígono regular de n lados é dada pela fórmula: Si = (n-2) x 180° Aplicando, n = 72 na fórmula, temos que Si = (72 - 2) x 180° Si = 70 x 180°  (vamos manter assim)   Finalmente, o objetivo da questão é obter a medida de cada ângulo interno desse polígono regular, para tant...

( EsPCEx 2022 )  O domínio A⊂ℝ da função real f , dada por     , é [A] A = [–6 ; 2]. [B] A = [–6 ; 0]. [C] A = [0 ; 2]. [D] A = [–6 ; –4] U [0 ; +∞[. [E] A = [–6 ; –4] U [0 ; 2]. Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Para encontramos o domínio A⊂ ℝ  da função f , a expressão que está dentro da raiz quadrada tem que ser maior ou igual a 0.  Isto porque no conjunto dos reais , não há raiz quadrada de números negativos.  Deste modo, temos que 1 - | | x + 2|  - 3 |  ≥ 0 A partir de agora, vamos resolver essa inequação modular. - | | x + 2|  - 3 |  ≥ - 1 | | x + 2|  - 3 |  ≤  1 Sabemos que  |x| ≤  a     equivale a     -a ≤ x ≤ a Sendo a > 0  Deste modo, vamos reescrever: - 1 ≤   | x + 2|  - 3 ≤  ...

( EsPCEx 2022 )  As empresas Águia, Leão e Pantera apresentaram suas propostas para impressão das provas de um concurso público. Cada uma dessas empresas cobra um valor por prova mais um valor fixo, conforme a tabela a seguir: De acordo com as informações acima, assinale a alternativa correta.  [A] Se o número de provas for igual a 10 000, Águia e Leão cobrarão, cada uma, um valor total inferior ao que Pantera cobraria. [B] Se o número de provas for igual a 10 000, Águia e Leão cobrarão, cada uma, um valor total superior ao que Pantera cobraria. [C] Se o número de provas for igual a 20 000, Leão e Pantera cobrarão, cada uma, um valor total inferior ao que Águia cobraria. [D] Se o número de provas for igual a 20 000, Águia e Leão cobrarão, cada uma, um valor total superior ao que Pantera cobraria. [E] Se o número de provas for igual a 20 000, Águia e Leão cobrarão, cada uma, um valor total inferior ao que Pantera cobraria.  Solução:  questão de matemática da ...

( EsPCEx 2022 )  Um grupo de 421 alunos da EsPCEx foi organizado para a apresentação de uma solenidade militar. Em determinada etapa, esses 421 alunos se posicionaram em N linhas, de modo que havia exatamente: 1 aluno na Linha 1; 2 alunos na Linha 2; 4 alunos na Linha 3; 6 alunos na Linha 4; e assim sucessivamente.  Ou seja, para cada número natural K, com 1 < K ≤ N, o número de alunos posicionados na Linha K é igual a 2.(K – 1).  A figura abaixo ilustra a distribuição dos alunos nas quatro primeiras linhas. Pode-se deduzir, com isso, que o número total de linhas, N, é igual a [A] 18. [B] 19. [C] 20. [D] 21. [E] 40.   Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Uma questão bem interessante sobre sequências numéricas.  Em primeiro lugar, de acordo com o enunciado, o somatório da quantidade de alunos nas N linhas vale 421.  Como a pri...

( EsPCEx 2022 )  Considere a função de variável complexa f , definida por f (z) = z 4 +80 z 2 − 81 . Sendo i a unidade imaginária, os números complexos que satisfazem à equação f (z) = 0 são [A] 1 e −81 . [B] 9 ; −9 ; i e −1 . [C] 1+9i  e  1−9i . [D] 1 ; −1 ; 9i e −9i . [E] 9+i  e  9−i . Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Resolvendo a equação f (z) = 0 , temos que z 4  +80 z 2  − 81 = 0  (z²) 2  +80 z 2  − 81 Vamos substituir z² = x x² + 80 x - 81 = 0 Aplicando a fórmula de Bhaskara Δ = b² - 4ac Δ = (80)² - 4(1)(-81) Δ = 6400 + 324 Δ = 6724  x = (-80 ± √6724) / 2  x = (-80 ± 82) / 2 x' = (-80 + 82) / 2 x' = 2/2 x' = 1 x'' = (-80 - 82) / 2  x'' = (-162) / 2  x'' = -81 Agora, voltamos em ( z² = x ) . Lembre-se que z pertence aos complexos. z² = 1 z = ± √ 1 z = ± 1 z² = -81 z = ± √ -81 ...

( EsPCEx 2022 )  Ao resolver a equação    encontra-se um valor de x compreendido entre [A] 1 e 2. [B] 2 e 3. [C] 3 e 4. [D] 4 e 5. [E] 5 e 6. Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Vamos resolver passo a passo a equação exponencial Dica:  troque 5 por (10/2). Finalmente, com as bases iguais, vamos igualar os expoentes: x + 1,5 = -1/3 + 2x - 4 x - 2x = -1/3 - 4 - 1,5 -x = -1/3 - 5,5    (vamos multiplicar os dois lados da equação por -1) x = 1/3 + 5,5 x = 0,333... + 5,5 x = 5,833.... Encontramos um valor de x que está compreendido entre 5 e 6.  Alternativa correta é a letra e). Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores da EsPCEx . Um forte abraço e bons estudos.

( EsPCEx 2022 )  A soma dos 2023 coeficientes binomiais com numerador 2022,  equivale a  a) 4 1011 . b) 2 4044 . c) 2 1011 . d) (√2) 2023 . e) (√2) 1011 . Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022) . Prova aplicada no dia 18/09/2022. Note que a soma dos 2023 coeficientes binomiais com numerador 2022, conforme apresentado no enunciado, é a soma dos elementos da linha 2022 do triângulo de Pascal (ou de Tartaglia). Vamos usar a seguinte propriedade do Triângulo de Pascal:  A soma dos (n+1) números binomiais da Linha n, vale 2 n . Sendo assim, a soma dos elementos da Linha 2022 do triângulo de Pascal vale  2 2022 Vamos colocar na base 4. 2 2022 = (2 2 ) 1011 = 4 1011 Alternativa correta é a letra a ). Aproveite e continue praticando com uma  lista de questões anteriores da EsPCEx . Um forte abraço e bons estudos.